🐍 Comment Savoir Si La Tete De La Parabole Est Hs

SV^r W r-' àE i 'V';'^> . àEà LMê ’ff*. ;v. M» a »• . & ' ; gp-—py Rar 4670 Àúà der Bûchersammlun^ Liithardt WWliifti ^...vjfc MM' ZMM. ~- ; iT»l mm SfcS&'££ WM, EL- ;• TRAIT É DU MOUVEMENT DES PROJECTILES, APPLIQUÉ AU TIR DES BOUCHES A FEU. Par le Citoyen Jean - Louis LOMBARD, Profejfeur aux Écoles d'Artillerie à Auxonne . ^ÓÍXTEc^ A DIJON, DE L’iMPRIMERIE DE L. N. F R A N TI N. Et fie vend, A Av XOHNE , Chez Jean-Antoine-Marie LOMBARD, Professeur aux Écoles ssArtillerie. AN V% AVERTISSEMENT DU FILS DE L’AUTEUR i. Le Traité du mouvement des Projectiles , appliqué au tir des bouches à feu , est le fruit de longues méditations, de profondes connoistances dans la théorie de T Artillerie & d’une expérience consommée dans la pratique de cet art. Déjà depuis long-temps cet ouvrage. étoit achevé, & l’auteur en digérois à loisir la correction fans apper- cevoir le nànent oh fes facultés , bornées aux àppointemens de fa place, lui per- mettroient de le mettre au jour, loríqu’il y a été déterminé par une gratification de zooo liv. que lui a accordée le Gouvernement fur la fin de Tannée 1793 vieux flyle' , pour subvenir aux frais de Timpref- 1 Jean-Antoine-Marie Lombard, Professeur aux Ecoles d’Artillerie , à Auxonne. a. st sion, à la charge d’en fournir vingt exemplaires à l’Ecole des éleves de FArtillerie à Châlon-sur-Marne, & quatre exemplaires à chacune des Ecoles d’Artillerie. Déjà les planches étoient gravées & imprimées, & Fimpression de l’ouvrage étoit commencée, lorsque la mort, en frappant F Auteur le iz Germinal, an z e . i er . Avril 1794, ère vulgaire , dans la soixante- douzieme année de son âge, est venue enlever à sa patrie un Philosophe éclairé, un excellent citoyen ; à sa fouille un bon pere, un bon époux ; aux sciences, qu’il cultivoit avec passion, un savant modeste autant qu il étoit laborieux & profond ; au cercle de ses amis & de ses connoistances, un homme de la plus douce, de la plus aimable société. Si F Artillerie sur-tout a à regretter en lui un Professeur distingué témoignage quaimeront à rendre à sa mémoire la plu- UJ part des Officiers de ce Corps recomman- dable, qui, fideles à leur poste , paient aujourd’hui à la République le tribut des connoistances qu’ils ont acquises dans leur art , au moins il n’est pas mort tout entier pour cet art, l’une des colonnes de la République. Les nouveaux Principes de VArtillerie de Benjamin Robins , commentés par Euler , traduit de l'Allemand , avec des notes i. Les Tables du tir des canons & des obujlers , avec une Injlruclion fur la maniéré de s cn servir, à l’usage des Ojsciers du Corps de l’Artillerie 2. 1 ^ Dijon , chez L. , Imprimeur, 1783 1 gros vol. se trouve , à Pans , chez JOMBERT fils aîné , Libraire. 2 1787, I voh ;Vi-8Và Auxonne , chez le citoyen Lombard fils. XV L ’Injlruclion sur la manœuvre. & le tir du canon de bataille i , suivie d’un traité sommaire sur la maniéré de servir le canon , i extrait de celui des Manœuvres de UArtillerie , par M. Demeuve ; ouvrage publié en faveur des Canoniers volontaires. Enfin , le Traite du mouvement des Projectiles , appliqué au tir des bouches à feu. Tels font les ouvrages dans lesquels vit ^ encore le citoyen Lombards & qui assurent à fa mémoire une place parmi les hommes, qui, par leurs travaux, ont honoré les sciences en servant utilement leur pays. Peut-etre cet éloge paroîtra -1 - il déplacé fous la plume d’un fils ; mais chargé i Dole, 1791 , broch. 1/18°. à Auxonne, ibid. & à Dole, chez le citoyen J, F. X. Joly , Imprimeur- Libraire. í V de suivre rimpreíïion commencée du Traité du mouvement des Projectiles , & de mettre cet ouvrage au jour , je n’ai pu résister au désir de profiter de cette circonstance pour rendre un hommage public à la mémoire de son Auteur. Si cet hommage étoit le fruit de Terreur, ce seroit celle de la piété filiale , & sous ce rapport, je me flatte quelle trouveroit grâce. Le coup qui m’a frappé, en retardant Timpreflion de Touvrage dont il s agit, a rendu pour ainsi dire inutile le secours que le Gouvernement avoir accordé à mon pere pour en faire les frais. La force des circonstances a empêché que ce secours ait pu être employé à fa destination ; mais j ai dû multiplier les sacrifices pour remplir des enga- gemens sacrés, & pour mettre à fin ce que mon pere avoir commencé, moins pour son utilité particulière, que dans Tintention de concourir à la perfection d’un art dont les - d vj progrès ont fait 1 objet de les recherches & de ses méditations pendant tout le cours de fa laborieuse carrière. PRÉFACE. PRÉ FAC E. L’origine de l’Artillerie , si l’on prend ce terme dans son acception la plus étendue, remonte à la plus haute antiquité. L’usage des engins & des machines de guerre propres à lancer des traits , des pierres , des matières combustibles, prit naissance plusieurs siécles avant Père vulgaire , & se perpétua jusqu’à l’époque où la poudre à canon fut employée, c’est- à - dire, suivant toutes apparences , jusques vers le commencement du quatorzième siecîe ; il ne fut même entièrement abandonné , que lorsque l’emploi de la poudre à canon fut parvenu à avoir un succès décidé. " Quoique le génie ait présidé à l’invention des machines qui constituoient l'Artillerie ancienne,;' quoiqu’il ait fallu de savantes combinaisons pour en assurer l’exécution ; quoiqu’eîles ne fussent pas moins terribles dans leurs effets que ne le font nos canons & nos mortiers i il n’y a pas i On peut prendre une idée de ce qu’étoit l’Artíllerie ancienne , par ce qu’en a écrit Plutarque, vie de Marcellus , à l’occasion du íiege mis par celui-ci devant Syracuse , & de la défense de cette viile, dirigée par Archimedes. Ce morceau est vraiment curieux. V11J pas d’apparence , malgré le sentiment du célébré commentateur de Polybe, qu’elles reprennent jamais faveur. Toutes les nations , en adoptant exclusivement l’Artillerie moderne , Rattacheront à la porter au degré de perfection dont elle est susceptible ; elles préféreront un système d’Artil- lerie , qui n’a besoin d’autre moteur que la force expansive d’un fluide élastique. Livré dans les premiers temps à une aveugle routine , on étoit loin de penser que le nouvel art pût être guidé dans fa pratique par des réglés scientifiques. Deux cents ans s’étoient écoulés depuis fa naissance ,, avant qu’on eût imaginé qu’ii pouvoit dépendre d’une théorie, moins encore d’une théorie fondée fur la géométrie. En comparant la rapidité du mouvement des nouveaux projectiles avec la vitesse des masses lancées par les anciennes machines, on s’étoit faussement persuadé que ce mouvement commen- çoit & finissoií par être rectiíigne, & que ces parties extrêmes étoient réunies par une courbe circulaire. Cette hypothèse , toute absurde quelle étoit, fur la base sur laquelle les premiers auteurs établirent une théorie de l’artillerie. Ce ne fut que vers le commencement du seizième siecle, qu’on osa croire que le chemin îx décrit par un boulet de canon, étoit une ligne courbe dans toute son étendue. On s’apperçut feulement que, dans la premiere partie de la course , la courbure étoit íì peu sensible , qu’on pouvoit n’y avoir aucun égard; mais la nature de cette courbe étoit toujours un mystère qu’un voile épais empêchoit encore de pénétrer. On soupçonna enfin qu’elle pouvoit avoir quelque analogie avec la parabole , sans pouvoir encore s’en convaincre par une démonstration mathématique. Ce ne fut que dans le siecle suivant que cette conjecture put se réaliser par la découverte que fit Gallilée de la loi de l’accélération des corps graves dans leur chûte, qui termina les disputes qui s’étoient élevées touchant les loix du mouvement, spécialement celui des projectiles. Les géomètres en firent supplication au mouvement parabolique, pour toutes les situations du but, par rapport au niveau de la batterie. Gallilée, qui avoit aufii eu la premiere idée, au moins parmi les modernes , de la pesanteur de l’air & de la pression de l’atmosphere , ne manqua point de faire mention de la résistance que ce fluide pourroit opposer aux corps qui s’y meuvent conjecture qui, mieux développée, eût dès-lors répandu le plus grand jour fur la théorie de l’Artillerie ; mais il attribua si peu r X d’effet à cette résistance , qu’il n’hésita point d’aflurer qu’il n’en résulteroit aucun changement à la figure de la parabole. Cette opinion fut d’abord suivie par la plupart des auteurs qui traitèrent ensuite le même sujet. 11 n’étoit pas vraisemblable , selon eux , qu’un fluide auflì délié, dont la densité est plusieurs milliers de fois moindre que celle des mobiles lancés par les bouches à feu , pût sensiblement altérer le mouvement parabolique ; en conséquence ils bornèrent leurs recherches à démontrer toutes les propriétés géométriques de ce mouvement , commes’il s’exécutoit dans le vnide, même celles qui, inutiles pour la pratique , ne font que de pure curiosité. Enfin parut Newton, ce génie a u quel les sciences physico-mathématiques ont tant d’obli- gations ; il réveilla l’attention des savans fur l’efiìcacité de la résistance de l’air , en prouvant que la considération de cet obstacle n’étoit pointa négliger ; mais ce ne fut que long-temps après , que l’Artillerie , toujours lente dans ses progrès, profita d’une découverte qui auroit pu porter la théorie des corps projetés à son plus haut degré de perfection, si la nature des fluides en général, & de l’air cn particulier, étoit mieux connue. Malgré ce qui nous manque encore à cet égard , on a à présent des données suffisantes pour résoudre le problème le plus important d’Artillerie , celui par lequel, connoissant la force de la poudre, on propose de diriger une piece,de maniéré que le boulet aille frapper un but de position connue. II y a plus d’un siécle que ce problème a été proposé, il n’y a pas cinquante ans qu’il est résolu , & ce n’est que depuis une dixaine d’années que j’ai calculé des tables qui en présentent la solution pour tous les cas i . Ce n’est pourtant point encore là que doivent s’arrêter les connoiffances qui caractérisent le vrai artilleur. Son art rangé aujourd’hui dans la classe des sciences, si nous parcourons la chaîne qui les lie entr’elles , nous en trouverons peu qui ne fournisse des réglés & des principes pour en diriger les opérations avec certitude. Le chymiste, par une combinaison simple & ingénieuse de différentes substances , a créé le principal moteur de i’Artillerie agent terrible, mais dont l’acti- vité feroit, pour ainsi dire, fans effet, si le mé- i Table du tir des canons & des obus ers , avec une inflruflion fur la maniéré de s'en servir, i vol. in-8°. 1787. Xij tallurgìste n’eût indiqué îe moyen 'de fentraves dans plusieurs sens, pour décider son action à se porter vers un seul côté. Le physicien développe les ressorts qui constituent la force prodigieuse de la poudre; il assigne par de justes proportions à chacune des substances qui la composent , la part quelle peut avoir à ses effets; & en faisant connoître la nature des obstacles à vaincre, il fixe le rapport entre la puissance & la résistance. Le méchanicien trouve dans la science des machines & du mouvement, tout ce qui peut contribuer à simplifier les manœuvres de l’Artillerie, à vaincre les difficultés qui se présentent continuellement dans la pratique de cet art, & à assurer la solidité & l’uniformité des attirails. Enfin le géomètre, guidé par la lumière émanée des autres sciences , soumet au calcul les notions qu’elles lui fournissent, trace dans les airs la route que doivent suivre les globes destructeurs lancés par les bouches à feu, & mesure le temps de leur course. Mais, que dis-je ! l’artilleur, devenu lui-même chymiste, métallurgiste, physicien, méchanicien , géomètre, n’a plus besoin de recourir à des secours étrangers, depuis qu’instruit dans les utiles établissemens, dont la France a donné l’exemple XllJ à toute FEurope, il est occupé pendant la paix à acquérir des connoissances en tout genre, & en perfectionnant son art , à se mettre en état de rendre pendant la guerre les services les plus signalés , qui le sont regarder, à juste titre, comme le plus ferme soutien de Fétat. Rien ne peut mieux convaincre de Futilité, même de la nécessité de ces connoiffances dans un artilleur, qu’un coup d’œil fur les diverses fonctions qu’il est obligé de remplir. En effet, comment veillera-t-il fur la fabrication des bouches à feu, s’il n’a point de notions fur Fart des fontes ; fur la meilleure forme des fourneaux de fusion ; fur Falliage qui convient le mieux à chaque calibre ; fur la justesse des procédés par lesquels on parvient à la précision des dimensions ; fur l’ufage des instrumens de vérification? Comment jugera-1-il dans une forge les travaux & les différentes opérations qui font passer le fer depuis la mine où il prend naissance, jusqu a la forme qui le rend propre aux usages de l’Ar- tillerie, s’il n’a fait une étude profonde de la minéralogie ? Comment décidera-t-il que des fers rempliront leur destination, s’il n’a pas acquis la science des moyens d’en reconnoître les qualités , & d’en vérifier les dimensions ? Pourra-t-il faire une réception justement motivée des armes blanches & à feu, s’il ignore quelles doivent être les propriétés de chacune des parties qui les composent, & s’il n’apperçoit pas les défauts qui doivent les faire rejeter ? Propriétés & défauts qu’on ne peut découvrir que par la connoislance parfaite des effets de la trempe & du recuit, qui rendent l’acier plus ou moins élastique ; des effets de la forge & du marteau, qui augmentent ou altèrent la qualité du fer. Si nous suivons l’artilleur dans les ateliers où son devoir l’appelle pour diriger la construction des attirails, nous verrons que la précision, la solidité, l’uniformité doivenr être les principaux objets de fa vigilance. La qualité des matériaux doit sixer son attention , & à tous égards, fa conduite doit porter le caractère du scrupule; car, s’il y a une erreur, fur qui doit tomber la responsabilité ? Sur celui fans doute en qui le gouvernement a mis sa confiance , & qui, ou par un abus criminel, ou par ignorance , ou par négligence, auroit livré au service des effets dont les défectuosités pourroient entraîner les fuites les plus funestes. XV le ne parlerai point des fonctions de l’arrilleur en présence de l’ennemi, pour diriger l’exécution d u tir des bouches à feu ; il fe convaincra facilement, par la lecture du livre que je lui présente , que, fans le secours des mathématiques, il n’est possible ni de raisonner avec justesse, ni de pratiquer avec discernement cette partie de son art, la plus importante de toutes, & qui en est le complément ; il verra que le service peut souffrir par la perte d’un temps précieux , par une consommation inutile de munitions, si le flambeau de la théorie n’en éclaire, n’en accéléré les opérations. Cet ouvrage est divisé en deux sections. La premiere, précédée de quelques notions préliminaires, qu’on a cru devoir rappeller au lecteur , traite du mouvement des projectiles dans le vuide. Plusieurs détails dans lesquels je fuis entré, paroîtront peut-être superflus ; mais outre qu’ils ont donné lieu à des observations qui, dans tous les cas, peuvent avoir leur utilité , je les ai cru nécessaires pour achever de détruire le préjugé du mouvement parabolique , en ne laissant aucun doute fur la grande différence qui existe entre les résultats de cette théorie, & ceux que donne la considération de la résistance de Pair. h xvj C’est de cette résistance & de ses effets fur le mouvement des projectiles, qu’il s’agit dans la seconde section. TABLE TABLE DES MATIERES. JL RiyciPES de trigonométrie. Page I Propriétés de la parabole. 4 Principes du recouvrement composé. J SECTION I. D u mouvement des corps projetés dans le vuide. 9 De Vangle de projection, 12 Lorsque le but es au dessus du niveau de la batterie. I Lorsqu il ejl au dessous, I J Lorsqu il es de niveau. l6 De la force de projection. 1 J Des deux angles fous lesquels on peut atteindre le même but avec la même vitese. 20 De la durée du mouvement des projectiles. 23 Des amplitudes horizontales. 24 De la plus grande hauteur du jet. 25 Du tir du mortier. 27 De la force de projection de la poudre dans le mortier. 30 De' la maniéré d’observer le temps. 33 D u tir du canon. 3 ^ De la vitesse du boulet. 38 XVU Trouver sangle de départ d'un boulet. 42 De la ligne de mire. 47 TABLE I. Des dijlances du point de rencontre de la ligne de mire avee Vaxe suivant les diffèrens calibres, avec les angles que la ligne de mire fait avec Vaxe. TABLE II. Des abaiffemens de la ligne de mire au dessous de Vaxe du canon. 5 I TABLE III. Des abaiffemens du boulet en diffèrens temps. 5 2 De t angle de projection. 54 TABLE IV. Des angles qui ont leur sommet au but t & s'appuient sur le demi-diamètre de la bouche du canon. ^ 7 TABLE V. Des hauffemens de la ligne de mire , relativement aux angles quelle forme avec taxe du canon. Du tir du canon de but en blanc. 64 Du tir à ricochet. 72 Problème I. 74 Problème 11 . 76 Problème III. 77 Problème IV. 78 SECTION II. Du mouvement des projectiles dans l'air. 83 Théorie de la rèfflance des fluides, 92 Problime I. 100 XlX Problème II. 102 Problème III. lbid. Problème IV. IO3 Problème V. lbid. TABLE VI. Des diamètres & denjìtès des boulets , bombes, obus & balles de plomb de 18 à la livre, 10 J Calcul de la formule u — lbid. Calcul de la formule V— ML. 106 Calcul de la formule t —^ m — I . lbid, Calcul de la formule V ^ 772 — I . 107 Calcul de la formule m — H- I. 108 D u tir du canon de but en blanc. 109 Calcul de la formule V — j/* ——j Çf7 "* ♦ * *3 Calcul de la hausse. 11 4 Calcul de la formule 5=^7 ^ lbid. Calcul de la formule .'=[►'^+0-^ "7 Calcul de la formule , * = K/,f ; x=f- + *->• “3 Du tir à ricochet ou lì enfilade. 127 Effets de différentes vîteffes initiales du boulet de 16 tiré à 2S0 toises. 154 De la force que différentes charges de poudre exercent dans le canon » 13 5 XX Table VII. Des vitesses initiales résultantes dt différentes charges, 146 Remarque I. 148 Remarque II. I J I Remarque III. Iss Remarque IV. 158 Table VIII. Des vitesses relatives à tévasement des pieces. 162 Remarque V. 167 Remarque VI. 17O Vitesses initiales du boulet de 16 chassé avec 6 livres 2e poudre. 171 Remarque VII. 17 5 Remarque VIII. 182 Du tir du fusil. 186 Dimensions du fusil. 187 TABLE IX. Du tir du sus l di infanterie. Ic> I TABLE X. Du tir du su f d déartillerie. 194 Du tir du mortier. 201 TABLE XI. Des valeurs de n pour les douçe especes de trajectoires relatives au jet des bombes. 213 TABLE XII. Des valeurs de la quantité P. 214 Calcul de la formule c 1 f -p, qui donne les arcs AN, A M. ” + _ 21; Calcul des formules c cos. i I ^-í-p & C sin. i I ” qui donnent les portions d'abcisses & dordonnées. 21 6 Calcul de la formule donne la vitesse. Calcul de la formule / i k C g I^ÍL+PP xxj ^n>P t qUl 217 I , n + Q h 1 nH- , V U 2,302585 /_c ~Ï/V k g donne le temps employé-à parcourir chaque portion N n & Mm de la courbe. 2 ! 8 TABLE XIII. De la premiere efpece de trajectoire des bombes. 221 TABLE XIV. Relative aux valeurs des quantités qui fe trouvent en tête de la table Zlll , relativement aux différentes efpeces de bombes. 224 Méthode des interpolations. 2 26 TABLE XV. De la projection des bombes fous Vangle de 4S degrés. 229 TABLE XVI. Des vítejfes communiquées à chaque efpece de bouches par différentes charges de poudre , dont la qualité ejl de 104 toises , Cangle de pro- jeclion étant de 4J degrés. 236 TABLE XVII. Des vítejfes & des portées reciifiées résultantes de différentes charges de poudre à chaque efpece de bombes ; l'angle de projection étant de 46 degrés, & la poudre de 104 toises. 24O TABLE XVIII. Des vítejfes des bombes résultantes de différentes charges de poudre , dont la qualité ef indiquée par les portées du mortier à éprouver les poudres, chargé de g onces. 242 Des causes d'irrégularités dans le tir des mortiers, 244 XX1J TABLE XIX. Force d'ìmpuljlon dìre&e du vent contre une surface d'un pied quarrê. 247 TABLE XX. Hauteur de la chute des graves. 248 APPENDICE. Réflexions fur les chambres des mortiers. 249 Fin de la Table. TRAITÉ î_ l _^= SS B==f=5 5gg> TRAITÉ DU MOUVEMENT DES CORPS PROJETÉS. NOTIONS PRÉLIMINAIRES. PRINCIPES DE TRIGONOMÉTRIE. I. La tangente d’un angle étant représentée par t , le rayon des tables étant zz. I , le sinus de cet angle fera — —f -,—-r, & le /inus d/un anele double — — — y i + tt ’ J 0 i + tt • Soit A D la tangents cîs l’angle A C D fig. i , & l’angle ACE double de l’angle ACD ; menez la corde AE, la sécante C D & le sinus EB de l’angle ACE; A F moitié de AE fera le sinus de l’angle ACD , & la sécante C D sera — yé x -t- tt . Les triangles semblables CAD, CFA donnent CD AD CA A F, ou y/ j tt t i AF = j l es triangles semblables CAD, EB A donnent C D C A AE ou 2 AF EB; ou -/ i -i- tt i TjfÉljj EB = i + tt 2. La tangente d’ttn angle ejl réciproquement comme fa cotangente. Soit le quart de cercle C A B fig. 2 , A D la tangente de l’angle ACD, BE fa cotangente les triangles N O T I O N S semblables CAD , EBC donnent AD AC BC BE , ou t i x cot, donc t — —. Donc si la tangente d’un angle est exprimée par une fraction - , sa cotangente sera exprimée par la fraction inverse — ; & le logarithme de la tangente d’un angle est le complément arithmétique du logarithme de sa cotangente. Si, par exemple , 9,584372a est le log. tang. d’un angle, 10,4156278 sera le log. cot. du même angle. 3. La sécante d’un angle efl réciproquement comme son cofinus. Lés triangles semblables CAD, CFGsig. 2 donnent CD CA CG CE, ou sec 1 1 cos, donc sec. — —. Le cosinus d’un angle étant donc exprimé par une fraction £ , l a sécante du même angle sera exprimée par la fraction inverse Donc aussi le logarithme de la sécante d’un angle est le complément arithmétique du logarithme cosinus de cet angle. Si, par exemple, 9,6804790 est le log. cos. d’un angle , 10,3x95210 fera le log. sec. du même angle. Ainsi , quoique les log. sec. *e se trouvent point dans certaines tables, comme dans les grandes de Gardiner & dans celles de la Caille, on pourra néanmoins employer ces tables pour avoir les log. sec, en prenant les complémens arithmétiques des log. cosinus. 4. La cofécante d'un angle est réciproquement comme son finus. Les triangles semblables B CE, GFC donnent CE B C C G F G, ou cosec 1 1 sin, donc cosec — — ; ce qui donne lieu aux mêmes observations qu’o» a faites dans les deux articles précédens. PRÉLIMINAIRES. Les propriétés trigonométriques du triangle rectangle donnent sig. 3 5. AC C B 1 tang. A = ~ , donc C B = AC tang. A. C’esl-à-dire que dans tout triangle rectangle la tangente de Fun des angles aigus est égale au côté opposé à cet angle divisé par le côté adjacent, & qu’un côté opposé à un angle est égal à l’autre côté multiplié par la tangente de cet angle. 6. AB BC 1 sin. A — donc B C = A B sin. A. C’est-à-dire que le sinus d’un des angles aigus est égal au côté qui lui est opposé divisé par Fhypothénuse, & qu’un des côtés de sangle droit est égal à Fhypothénuse multipliée par le sinus de l’angle opposé à ce côté. 7. AB AC 1 cos. A = , donc AC — AB cos. A. C’est-à-dire que le cosinus de Fun des angles aigus est égal au côté adjacent divisé par Fhypothénuse , & que l'un des côtés de l’angle droit est égal à Fhypothénuse multipliée par le cosinus de l’angle adjacent à ce côté. 8. La tangente d’un angle ejl égale au Jlnus de cet angle divisé par son cosinus. Les triangles semblables CFG, CAD donnent C F EG C A AD ou cos sin 1 t , donc t =z — , 9. Donc par le §. % on a cot. s= La trigonométrie fournit encore les équations suivantes. 10. sin. a + b — sin. a cos. b + cos. a sin. b. 11. cos. + cr cos. a COS. b + sin. a sin. b. t a - t- b — t a - i- t b 12 . I —ta t b* t a — l b 13. t a-b = 1 + 1 a t /> * 14. cot. a b i — tdtb t L + t k* 4 Notions , , . I 4- tut b 15. cot. — b — la _ ti . 16. La fomfrte de la tangente & de la sécante d'un arc AB fig. 4 ejl cgale à la tangente de 45 0 - f- \ AB. Soit le complément B D de cet arc divisé en deux également en F , AG & CG étant tangente & sécante de Tare AB, si on mene le rayon C D, & par le point F la droite CT terminée par la tangente prolongée en T, le triangle C GT sera isoscele , puisque les angles T, GCT font égaux chacun à l’angle DCF, donc AT ou AG -4- GT — AG -+- GC. Mais AT est la tangente de Tare A F , lequel considéré avec Parc D F comme formant ensemble Parc A D ou 90 degrés; il est évident qu’cn aura AF 45 0 -+- \ AB, donc tang. AF — sec. AB — tang. 45 0 - f- { AB . 17. La différence de t tangentes de deux angles a & b efl plus grande que la tangente de leur différence. On vient de voir §. 13 qu et a—b~ , or il est évident que ta — t b > - - — donc auffi ta - 1 b > t a — b. tang. AB Propriétés de la parabole. 18, Les perpendiculaires BD, GH íìg. 5 fur une double ordonnée AC d’une parabole A M C , font proportionnelles aux produits des parties qu elles coupent fur cette double ordonnée. Menez l’axe P M de la parabole & les ordonnées DR, II S, on a M P M R PC RD ou PB ; donc M? - MR ou BD MP PC -TB FC , on démontre de même que GH M P P C — P G PC; donc BD GH PC-PB PC- PG. Or PC - PRÉLIMINAIRES. PB = AB X BC & PC - PG = AG x GC , donc &c. Si l’on fait AP — VC—y; PM= x; AB — b-, BD — c ; AG = d & GH c= /; on aura BC = 2 y — b & GC — 2 y — d. La derniere proportion donne c f zby — bb zdy—dd, d’où l’on tire y = -gjzrfjj , ce qui donne la valeur A P quand on connoît les perpendiculaires B D, G H & leurs distances au point A. On trouve austi par l’une des premieres proportions c x , ce qui fait y y 1 b y — b b 2 b y — b b y y , donc x connoître l’axe M P. 19. Les tangentes des angles formés par deux tangentes à la parabole & les ordonnées menées aux points touc hans, font entre elles comme ces ordonnées. En supposant le rayon s 1 , on a fig. 6 tang. N — > J — QN ’ P T 2 A P ; donc &tang. M i. M mais A Q A P QO. QN'- tang. N tang. M ~ Q N P M , donc tang. N tang. M ^ ~ QN P M. Les autres propriétés de la parabole que nous aurons occasion d’employer sont trop connues pour qu’il soit nécessaire de les rappelles ici. SUR LE MOUVEMENT COMPOSÉ. 20. Si un corps efl sollicité à se mouvoir par deux puijsances dont les direélions forment un angle, à la fin d’un tems quelconque ce corps fe trouvera à ïextrémité de la diagonale du parallélogramme construit fur les espaces, que chacune 6 Notions de ces puissances , fi elle eût agi feule , lui auroit fait parcourir dans le même tems. Soit le corps A fig. 7 poussé par les forces réunies des deux puissances P & Q supposons que la premiere P dirigée suivant A B lui fasse parcourir les espaces A E, A F, A B dans les mêmes tems que l’autre Q, dirigée suivant A C, lui feroit parcourir les espaces A G, A H, A C. Pour que ces deux puissances produisent sur le mobile tout l’esset dont elles sont capables en conséquence de leurs directions & de la quantité de force qu’elles exercent, il faut qu’en vertu de l’impulsion de la puissance P, le mobile s’éloigne de la direction A C de l’autre puissance Q, d’une quantité A E prise sur AB, ou parallèlement à AB , en même tems que la puissance Q l’éloigne de la direction AB d’une quantité A G prise sur A C , ou parallèlement à A C. Or cela ne peut avoir lieu qu’autant qu’à la fin du même tems le mobile se trouvera en un point I déterminé par la rencontre des deux droites EI, GI, menées parallèlement aux directions des deux puissances, & ce point est évidemment l’ex- trémité de la diagonale du parallélogramme construit fur les espaces AE, AG, que chacune des puissances, si elle agissoit feule, feroit parcourir au mobile dans le même tems; il en est de même des points K, D, où le mobile doit se trouver à la fin des tems qu’il auroit mis à parcourir les espaces A F, AB, si la puissance P agissoit feule, ou les espaces AH, AC, si la puissance Q agissoit feule. 21. Si les parties AE, EF,FB fig. 7 & c. prises fur la direction AB, sont infiniment petites, ainsi que les parties AG, GH, H C de la direction A C ; les points A , I, K , D , par où passe le mobile , seront infiniment proches l’un de l’autre ils traceront le chemin que le mobile par- ÏRÉLIMINAIRIS. 7 court pendant son mouvement ; & ce chemin sera une ligne droite, ou ..une ligne courbe dont la nature dépend du rapport qu’il y a entre les espaces AE, A F, AB parcourus en vertu de faction de la puissance P , 8c les espaces AG, AH, A C parcourus dans les mêmes tems, en vertu de faction de la puissance Q. 22. Si les deux puissances P 8c Q 6g. 8 impriment au corps A un mouvement uniforme , ou des mouvemens semblablement variés, le chemin que le mobile parcourt X fera une ligne droite; car il est clair que dans chacun de ces deux cas, on aura toujours AGAHAC AE AF AB GI HK CD. 23. En6n 6 le mobile reçoit de la puissance P un mouvement uniforme, 8c de la puissance Q un mouvement uniformément accéléré, le chemin AI K D 6g. 7 qu’il parcourt est une parabole. C’est le cas du mouvement cfun corps projeté dans le vuide parce que la force de projection communique au mobile un mouvement uniforme, £c que la pesanteur qui agit toujours fur lui est une force uniformément accélératrice. Mais nous présenterons cette vérité fous une autre forme, plus propre à faire connoître toutes les circonstances du mouvement des corps projetés, après que nous aurons encore établi le principe suivant. 24- •Sr un corps ejl projeté suivant une direElion quelconque parallèle ou oblique à F horizon , il parcourra une courbe qui a cette direííion pour tangente; des droites parallèles a la meme direElion pour ordonnées ; & pour diamètre la verticale qui pajfe par le point d'où le corps ejl projeté. i°. De quelque côté qu’on projette le corps A 6g. 9 dans la direction Qg, de A vers Q, ou de A vers q , la 8 Notions préliminaires. pesanteur agissant continuellement sur lui, l’abaisse au dessous de la droite Q q auffi-tôt qu’il a quitté le point A d’où il est projeté ; donc la direction Q q ne rencontre qu’en un seul point A la courbe M A m que le corps parcourt, elle est donc tangente à cette courbe. i°. Comme la pesanteur agit également dans des teins égaux , en prenant de part & d’autre du point A des espaces égaux A Q, A q, 8 c qui seroient parcourus en tems égaux en vertu de la même force d’impulsion , les abais- semens verticaux Q M, q m seront aussi égaux entr’eux, de sorte que la droite M m qui joint les extrémités de ces abaissemens fera parallèle à Qq, 8 i fera par conséquent une double ordonnée de la courbe M A m. 3°. Enfin la verticale AP, menée par le point A, divisant Q q en deux également, divisera de même sa parallèle M m, Sc sera par conséquent un diamètre de la courbe. 25. Un projectile lancé par un canon AB fig. 10, ou par une arme à feu quelconque , parcourt donc une courbe A M qui, en ne considérant que le centre du projectile, a pour tangente Taxe du canon ou sa direction A Q , le point touchant étant à la bouche. Et puisque la pesanteur qui agit continuellement sur le projectile a une direction verticale, la courbe A M & la direction A Q du canon sont dans un même plan vertical. 9 SECTION I. Du mouvement des corps projetés dans Le Vuidéi Supposons qu'un corps placé en A fig. n soif projeté suivant une direction A C, avec une vitesse égala à celle qu’il aurai t acquise en tombant librement de la hauteur HA ce corps parcourroit la droite AC s’il n’étoit point pesant; mais la pesanteur, qui ne cesse d agit sur lui, l’éloigne continuellement de cette direction , & dans le même tems qu’il auroit parcouru l’espace A Q , elle l’abaisse d’une certaine quantité Q M , dont la grandeur dépend du tems employé à parcourir A Q, Les espaces HA, Q M étant parcourus, en vertu de la pesanteur, d’un mouvement uniformément accéléré, les vitesses acquises à la fin de ces espaces font comme les racines quarrées de ces mêmes espaces; c’est-à-dire comme VHA est à y Q M. Or les espaces qui seroient parcourus d’un mouvement uniforme avec ces mêmes vitesses & dans le même tems, font A Q Li îQM; on a donc AQ îQM V HA y QM. Faisant AH a ; AQ — u, & QM= on aura ut Y a y d’où l’on tire uu = 4a ij. On volt donc, I que la courbe A M B est unS parabole ; car si l’on acheve le parallélogramme A Q M R , R M sera une ordonnée de la courbe §, 24 , A R une abscisse, & l’équation indique que R M = A R x 4 AH; c’est-à-dire que le quarré de Fordonnée est égal au produit de l’abscisse par une ligne constante, propriété qui ne convient qu’à la parabole. 2°. L’axe de cette parabole est vertical & divise l’horizontale A B en deux 2 to Mouvement des projectiles également. 3°. La grandeur constante 4AH — 4a , est le paramétré du diamètre A11 ; ainsi la hauteur dont un mobile devroit tomber pour acquérir la vitesse avec laquelle il doit être projeté pour décrire une parabole donnée, est égale au quart du paramétré du diamètre qui passe par le point de projection. 28. Pour tirer de l’équation u u — 4^ des conséquences utiles à la pratique, il faut la changer en une autre qui exprime le rapport des perpendiculaires P M menées de chaque point de la parabole fur l’horizontale A 13 , avec leurs distances A P au point A, & avec i’angle CAB fous lequel le mobile est projeté ; c’est-à-dire qu’il faut rapporter les points de la courbe à l’horizontale AB. Pour cela on fera AP— x ; P M — y, & l’on supposera que la direction AC fait avec l’horizontale A B un angle dont la tangente — t, le rayon ou sinus total étant = 1. On aura PQ A P ou PQ x t 1, donc PQ — tx ; mais Q M = P Q — PM , & A Q rz A P-+-P Q; donc { = tx —y, 8tuu — xx -+- t rxx ; mettant ces valeurs do { & u u dans l’équation uu— 4 a , on aura xx -+- 11 x x— 4 a t x — 4 ay, qui est l’équation générale de la courbe A M B rapportée à ^horizontale AB *. * On trouve la même équation de la manière suivante considérons le mobile projeté parcourant l’élément M» de la courbe qu’il décrit fig. Il *; abaissons les droites M P , mp perpendiculaires, & MR parallèle à l’horizontale A P qui passe par le point de projection A. Faisons A P = * , PM =y , le rems employé à parcourir AM — r; le mouvement suivant M» étant décomposé en deux autres, l’un horizontal suivant MR, l’autre vertical suivant m R, la vitesse dans le premier sens qui fera n’ess sujette à, DANS LE VUIDE, ïï Cette équation renferme tout ce qu’il est nécessaire dc considérer dans le mouvement des projectiles lancés par les bouches à feu, savoir la quantité a pour exprimer la force du jet, d’où résulte la vitesse du projectile & la charge qu’il faut employer; la quantité/, par laquelle on trouve l’angle sons lequel il faut tirer ; x & y indiquent la situation du but qu’on veut atteindre, ou ses distances horizontale & verticale. Nous allons entrer dans le détail des diflérens usages que l’on peut faire de cette équation. altération , & 1a vitesse dans le second sens est ; celle-ci est diminuée par faction de la pesanteur qui tend à abaisser le mobile. Nommant donc g la force instantanée de la gravité, on aura * J =o,&i J ~ — S d l - I- intégration de ces deux équations donne en ajoutant les constantes, — C , — C' — r. Déterminons ces constantes en observant qu’à l’origine du mouvement en A où la vitesse dc projection est V, la vitesse horizontale est — V cos. I , nommant 1 l’angle de projection , & la vitesse verticale est — V fin. 1 ; donc ~ = V cos. I, & ~ V fin. I — gc ; d’où l’on tire Ax = V d t cos. I &. Ay = V dt fin. 1 — gtdt ; intégrant de nouveau on a x = V r cos. 1 & y = V t fin. I — ; prenant dans la premiere équation la valeur de t = — ——- & substituant dans la seconde , on a y = —-. i ; — V cos. I -—, équation à la parabole. Soit maintenant - . — -. — , cuiwuiun c ii uarduvic. jvii iiidimciiduc cos. I z\*cos.*[ n r a la hauteur due à la vitesse V & £ l'esset de la pesanteur en une i W* seconde , on aura-= 4 4 Mouvement des projectiles B que suivant une seule direction qui fcroit avec lTto- rizontale un angle dont la tangente Exemple I. On propose d’atteindre un but B dont la distance horizontale A E est de 300 toises ou 1800 pieds ; la hauteur verticale BE de 120 pieds; la vitesse du projectile étant de 360 pieds par seconde dans ce cas l’on a b = 1800 , c — & a m 2160 * substituant ces valeurs dans l’équation t z= + ì y/ 4 a a — 4 a c^'b b on aura t — 4,50713 & t — 0,29288. La premiere de ces deux valeurs est la tangente d’un angle de 77° 29' ; & la seconde, celle d’un angle de 16 0 19'. On peut donc atteindre le but proposé sous chacun de ces deux angles. Exemple II. Si avec une vitesse de 300 pieds par seconde, on veut atteindre un objet éloigné de 2700 pieds, & élevé de 285 pieds; on trouvera 4 aa — 4 ac — bb = 0,8c 2 -j — — i, 11111 pour la tangente du seul angle de 48 0 1 ' environ , fous lequel le mobile doit être projeté, pour qu’il arrive au but proposé. Exemple III. Enfin si avec la même vitesse de 300 pieds par seconde, & à la même distance horizontale de 2700 pieds, le but est plus élevé que de 285 pieds, on trouvera que 4 a a — 4 ac — b b est une quantité négative , St fa racine par conséquent imaginaire ; ce qui fait voir que cette situation du but ne permet pas qu’on l’at- teigne avec la vitesse donnée. * Nous supposerons dans cette premiere section qu’un corps parcourt 15 pieds dans la premiere seconde de sa chiite. 11 n’en résultera aucun inconvénient pour la pratique , & les calculs en feront plus simples. DANS LE VU1DE, ia ’j - •n SS r b es la nc s. e- & & ;le re 30 de on ; a - r ait at- irps i’en ca Seconde pojiûon du but 32. Lorsqu il efl au dessous du niveau de la batterie. Fig. 13. Pour appliquer notre équation à ce second cas, il n’y à qu’à changer le signe du terme 4 a c où se trouve la quantité c, Lc l'on aura t — — + y ^aa + ^ac—bl ; O11 pourra clone atteindre le but sous deux angles , dont l’un a pour tangente j + y 4 + 4a ~Tb , & l’autre — j y 4 a tT+ 4,1 c — 6 î. Observons encore que pour la possibilité il faut que 4aa-+- 44c soit > ou —b b-, Sc que clans le cas de 4 a a - f- 4 a c — b b , le projectile ne peut arriver au but qu’en partant fous uii angle dont la tangente — -g-, II peut arriver aussi que la quantité y 4 a a + 4 ac — b b soit plus grande que 2 a , alors la tangente ^ _ í V" 4íia + 4stc — b b seroit négative , & feroit voir que la premiere direction doit passer au dessous de l’hori- zontale A E. Exemple I. Si le projectile doit frapper un but éloigné horizontalement de 1200 pieds, & de 130 pieds plus bas que le point de projection , fa vitesse étant de 180 pieds par seconde ; on fera é = 1200; c — 150 & a — 540; lesquelles valeurs étant substituées dans l’équation t — \ y 4 !~^aâ—bb. Où l’on peut voir encore qu’il n’est possible d’atteindre le but que lorsqu’on a 2 a y. o\x = b, Ik que dans le cas de 2 a = b , on ne peut employer qu’un seul angle de projection dont la tangente — ^ — 1, c’est-à-dire l’angle de 45 degrés. Exemple I. Si l’on propose d’atteindre un but éloigné de 1800 pieds, avec un projectile dont la vitesse est de 300 pieds par seconde; on aura a = 1500 8íb=z 1800. Mettant ces valeurs dans l’équation t = ’b-d + £ DANS LE VUIDE. *? VTâa-bb, on trouvera t =z 3 &í = o, 33333 pour les tangentes demandées qui répondent, la premiere à un angle de 71° 34'& la seconde à un angle de 18° 26', sous cliacun desquels on peut atteindre le but proposé. II. Si le but est à 3000pieds, la vitesse étant la même , on trouvera t = 1 ; c’est la tangente de 45 degrés, qui est le seul angle qu’on puisse employer dans ce cas. III. Si le but est à plus de 3000 pieds, il ne fera pas possible de l’atteindre en employant une vitesse de 300 pieds par seconde , parce que 2 a étant, dans ce cas, moindre que b , y 4 aa ~ib est une grandeur imaginaire. Les deux angles fous lesquels le mobile parvient au même but avec la même vitesse , ont dans chacune des trois positions une propriété commune qu’on pourroit déduire immédiatement de la formule ^ V 4 + 4 a c —Yb ; mais nous découvrirons cette propriété par une méthode plus facile , dont nous parlerons après avoir considéré la force de projection. De la force De projection. 34. Pour connoître la force de projection représentée par la lettre a , connoissant sangle de départ & la situa-, tion du but ; on reprendra l’équation générale b b - 4- bb 11 -=z 4 a b t + 4 a c , d’où l’on tire les trois valeurs suivantes de a, relativement atîx trois positions du but. a — ~ yb*t—\c P^ ur ^ P r emiere position du but. b b 4 c - b b 11 4bt + b b + b b tt pour la seconde. b b 11 t • p — -^— pour La troiíieme. 4 b t 4 / La quantité a étant connue par ces trois équations , il fera facile d’en déduire la vitesse du projectile, puifqu’elle. i? Mouvement des projectiles est due à la hauteur a , & qu’elle est exprimée par y 60 a. 33. II est évident que la quantité a ne devant point être infinie , & encore moins négative, puisqu’il en réfulte- roit une vitesse imaginaire ; il faut que , pour la premiere position du but, la tangente t de l’angle de projection soit plus grande que p qui est la tangente de l’angle BAE §.4; & si dans la seconde position la premiere direction du mobile passe au dessous de l’horizontale AE, ce qui rend t négatif, il faut que t soit moindre que 1 ' Si la projection se fait sous l’angle constant de 45 degrés , on aura t = 1 , & les trois valeurs de a deviendront a — P our ^ premiere position du but. a — — pour la seconde. a — b pour la troisième. Exemple I. On demande quelle doit être la vitesse d u projectile pour qu’il puisse atteindre un but dont la distance horizontale est de 250 toises ou 1500 pieds, son élévation au dessus du niveau de la batterie de 240 pieds , & l’angle de projection de 40 degrés ? Ces conditions donnent b — 1 500 ; c — 240 , & r = 0,8390996, ou, en employant les logarithmes , Ib — 3,1760913 , / c = 2 2,3802112, lr= 9,9238133 , & / 1 H-íí = 0,2314920. Ces valeurs étant mises dans l’équation a ~ ;, f _ 4e — on aura ^ îtesse du projectile par l’opé- ration suivante dans le vuide. *9 lib .6,3521816 lí + tt . . 0,1314920 •omp. Z 46/ — 4 c 6,3899150 la .2,9735896 / Ib . . . . 3,1760913 It . . . . 9,9238135 Ibt ... 3,0999048 b t = 1 258,65 c = 240 - i i J- í =' 1018,65 / 60a. ... 4,7517403 4Íi — 4c = 4074,60 l / 60 a . . 2,3758704-/237,613. La vitesse du projectile doit donc être de 238 pieds par seconde à peu près. II. Si à la distance de 1500 pieds le but est de 240 pieds plus bas que le niveau de la batterie , & qu’on veuille employer le même angle de 40 degrés, on mettra les a t » , , b b b h 11 q memes valeurs dans 1 équation a = 4 ' y t + 4C ? ot ion trouvera qu’il faut une vitesse de 196 pieds par seconde. III. Si à la même distance de 1500 pieds on veut atteindre un but situé au niveau de la batterie , avec le même angle de 40 degrés, on mettra les valeurs de b, t, & 1 + tt dans l’équation a = h t , en faisant l’opération suivante Ib . . . . . 3,1760913 i 1 - 4 — í í 0,2314920 comp. It .0,0761865 comp. / I60 ... . 1,77815 12 160 a . . . 4,6598610 l V 60 a . 2,3299305 = / 213,76. II faut donc une vitesse de 214 pieds par seconde. IV. Si l’on veut employer sangle constant de 45 degrés pour atteindre le but proposé dans les trois exemples précédens, les calculs seront plus simples , & l’on trouvera que pour la premiere position il faut une vitesse de Mouvement des projectiles 30 231 pieds par seconde ; pour la seconde position une vitesse de 197; & pour la troisième, une vitesse de 212 pieds. Le logarithme de cette vitesse est j líb + comp. / 2 b — 2 c -4-/60 pour la première position. ~ lbb~\ - comp. / 2 è -j- 2 c H- / 60 pour la seconde. \ \ b - t- / 60 pour la troisième. Des deux angles fous lesquels on peut atteindre le même but avec la même vitesse. 36. Quelle que soit la situation du but à l’égard du point de projection , il arrive presque toujours qu’on peut l’atteindre fous deux angles différens avec la même vitesse C . , . bb + bbtt bb+bbtt OC comme les équations a = —7 -1 a -=z —-—- 1 a — -~p-, n'indiquent qu’un seul de ces angles par fa tangente t , nous allons chercher la tangente de l’autre , ou seulement la quantité dont il faut augmenter ou diminuer la tangente de sangle donné, pour avoir celle de l’aurre angle. Supposons donc que t est la tangente du plus petit des deux angles , & nommons q la quantité dont il faut l’augmenter pour avoir la tangente du plus grand; la nouvelle tangente fera t - f- q , laquelle étant mise dans les trois valeurs de a à la place d et, on aura a = t V4 c ' P our premiere position du but. bb + bb t + qY , r , a — —r- ——r-— 2-U pour la seconde. 4 b {c + q -l- 4c r a — f’ î l . + l ^ pour la troisième. 4 * + f 1 Mais ces trois valeurs de a doivent donner la même DANS LE VUIDE. 21 vitesse que les trois premieres , elles leur font donc respectivement égales, & l’on a bb + bb{t-*-gy __ bb + bbtt 4*0 + ? — 4 c b b + b b t + q* _ 4 * 0 + ? + _ * + b t + qY _ 4í + ? pour le i' r . cas q = 4A £ — 4 c h b + b b 11 4 b t + 4 c b -h b 11 pour le 2 û . pour le y. 4 -btt + tct b t — c ~ b 11 — 2 c t b t + c i —ct d’où l’on tire & r -f- a = b + ct b t — c o b — ct & * *+- ? = nTZ q — —y- & t - 4- q — - Donc avec la vitesse résultante de chaque valeur de a, on peut atteindre le même but avec deux angles de projection qui auront pour tangentes t Scj—qq lorsque le but est au dessus dit niveau de la batterie; t 8c lorsqu’il est au dessous ; í & 7 quand il est au même niveau , & dans ce dernier cas on voit que les deux angles font com- plémens l’un de l’autre §. 2. On voit encore qu’il ne peut y avoir qu’un seul angle de projection dans chaque cas , lorsque dans le premier on b+c t \/{bb + c c + c , , , ou t = —-—— b -'—. dans le iecond, t = >—& dans le troisième t . 9 1 9 ou t — 1 , c’est-à-dire , dans ce dernier cas , lorsque sangle de projection est de 45 degrés. 37. Examinons maintenant les angles que les deux directions, par lesquelles le projectile parvient au même but, forment avec la verticale élevée au point de projection , & avec la droite menée de ce point au but on 0 f — bt — ct b ct /bb + cc r- c OU t — *- r- b t - f- c t b Mouvement des projectiles i2 vient dc voir que pour la troisième position, où le but est au niveau de la batterie, ces deux directions font avec l’ho- rizontale deux angles complémens l’un de sautre, ou qui valent ensemble sangle formé par la verticale élevée au point de projection , & la droite menée du but à ce même point, & que la direction unique divise cet angle en deux également. A l’égard de la premiere position , soient C AE , eAE les deux angles fous lesquels le projectile étant lancé avec la même vitesse atteint le but B nous venons de trouver que, si t est la tangente de sangle CAE, est la tangente de sangle c AE, dont le complément c AH aura par conséquent pour tangente ; §• 2 j° r sangle CAB est la différence des deux angles CAE, B AE, & ce dernier a pour tangente £ §. 4 , donc la tangente de CAB est §. 14 _f_b_ lt — c c i oncrangleCAB I +C1 b + ct > o b = cAH, d’où il fuit que les deux angles CAB, c AB font égaux pris ensemble à sangle H AB, formé par la verticale AH & la droite AB menée au but. O11 trouv-e de même dans la seconde position indiquée par la fig. 13, que CAB -+- c AB — HAB, en observant que la tangente de sangle CAB = CAE 4- BAEest bt - k c b—ct m §• I 3 i ct — 6 ~ 38. Concluons donc en général, i°. que les deux dire Hions par lesquelles un projcílile peut atteindre le méftie but avec la même viujfe , font , avec la droite menée de ce but au point de projeílion , deux angles qu 'l , pris ensemble , font DANS L1 VVIVL égaux à Vangle formé par cette même droite & la verticale . D’oìi il est aisé de conclure , 2°. que la direction unique divise toujours cet angle en deux également. 3°. Que les deux angles de projections formés par les prernieres dire étions & l’horizontale , valent toujours ensemble un angle droit plus ou moins l'angle fait par l'horizontale 6> la droite menée au but; selon que ce but ejl au dessus ou au dessous du niveau de la batterie. De la durée du mouvement des projectiles. 39. Du point B où est placé le but, élevez la verticale B C qui rencontre la premiere direction en C, & l’ho- rizontale en E ; le projectile parvient de A en B dans le même tems que la force de projection lui auroit fait parcourir A C, ou que la pesanteur l’auroit abaissé de la hauteur C B §. 26 niais, en conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, on a C E =s b t §. 4. ; donc C B=zbt — c pour la premiere position du but fig. 12.; C B z=.bt- s c-c pour la seconde position fig. 13.; & C B — ét pour la troisième fig. 14. . Donc V b . t+c exprime en secondes le tems que le mobile met à parcourir la courbe AMB, b Sic étant évalués en pieds. Dans cette formule du tems le signe — a lieu dans la premiere jiosition du but; le signe - 4 - dans la seconde ; & c — 0 dans la troisième. Si l’angle de projection est de 45 degrés, on a £ — i & la durée du mouvement fera exprimée par y b +c *î * Exemple I. Soit un mobile qui, projeté fous sangle de 40, degrés, atteigne un but éloigné horizontalement de 1800 pieds & verticalement de 240 pieds au dessus du M Mouvement des projectiles niveau de la batterie la durée du mouvement sera y i Soo x 0,8390996—240 1 5 9,2 secondes. II. Si sangle de projection est de 30 degrés, la distance horizontale du but de 1200 pieds, & fa distance verticale au dessous du niveau de la batterie de 130 pieds ; la durée du mouvement fera Y f - 1 — —-7, 3 secondes. III. Si le but situé au niveau de la batterie est éloigné de 2000 pieds,sangle de projection étant de 60degrés, on k j - 2000 X 1,73 20 to8 tems du trajet = y -—-— = 15,2 secondes. 40. De l’expression du tems y-~ il est facile de conclure samplitude horizontale, lorsqu’on connoît la durée du mouvement & sangle de projection il n’y a qisi faire le quarré du tems exprimé en secondes , multiplier ce quarré par 13, & diviser le prochiit par la tangente de sangle de projection , on aura samplitude b. 41. Connoissant le tems du trajet, sangle de projection & sune des distances du but, on trouvera l'autre distance parla formule Vìldll car nommant T le tems du trajet, on a -YÍ 15 d’où l’on tire b — 1 ^~ r — C ; ou + c j 5TT_ b t. Dans la valeur de b , on prendra -4- c , si le but est au dessus du niveau de la batterie , & — c s’il est au dessous. Si, connoissant b , on cherche la distance verticale du but, on conclura qu’il est au dessus du niveau de la batterie si l'on trouve c positif, & au dessous lorsque c a une valeur négative. Des amplitudes horizontales. 42. Quand le but qu’on veut atteindre est au niveau du point de projection, on ac=o,& l’équaticn générale DANS LE VUIDE. ib~$-bbtt~4abt + 4ac devient b b - 4 - bbttzz. 4 ab t, d’où l’on tire b — Donc à vitesse égale les amplitudes 011 portées horizontales font comme ou comme —.or - — fS. t. est le sinus d’un angle double de celui qui a t pour tangente; donc les amplitudes font comme les sinus du double des angles de projection. 43. On obtient donc la plus grande amplitude lorsque sangle de projection est de 43 degrés car sangle double de celui de 45 degrés , qui est l’angle droit, a le plus grand sinus. 44. 11 fuit encore du même principe que l’amplitude fous 13 degrés, est moitié de l’amplitude fous 43 ; parce que ces amplitudes font entre elles comme le sinus de 3a degrés est au sinus de l’angle droit, c’est-à-dir,e comme I. est à 2. 43. Lorsque sangle de projection est de 45 degrés, ía tangente est égale au rayon — 1 ; mettant cette valeur de t dans Féquation l — ^ ^_ y- £ trouvée au §. 42 , on aura b — 2 ; donc fous 13 degrés on a l’amplitude b a. §• 4 3 0 - De la plus grande hauteur du jet. 46. L’axe de la parabole que décrit le projectile étant vertical, il est clair que le sommet de cet axe est le point de la courbe le plus élevé au dessus de l’horizontale qui passe par le point de projection , & qu’il répond au milieu de l’amplitude or on a vu §. 42. que l’amplitude est ~~rr~,7 donc en mettant fa moitié — a à la place de b dans l’équation bb- 4 ~ bbttz= 4abt + 4ac , on trouvera c —777; pour 1 expression de la plus grande hauteur à la- 4 Mouvement des projectiles ì6 quelle un projectile puisse s’élever, fa vitesse étant due à la hauteur a , & sangle de projection ayant t pour tangente. 47. Les plus grandes élévations des projectiles, fous différens angles & avec la même vitesse, font donc cornmc dont la racine quarrée ———-—. est le f nus d’un angle qui a t pour tangente §. 1. ; donc les plus grandes hauteurs auxquelíes le mobile s’élevera, font entre elles comme les quartés des sinus des angles de projection. 48. Lorsque l’angle de projection est de 45 degrés, on donc, dans ce cas de la troisième position d u but, la plus grande hauteur est le quart de l’am- plitudé. 49. Ce que nous venons de dire de la théorie du mouvement des corps projetés dans le vuide , peut s’appliquer à tous les projectiles, quelque soit le moyen qu’on emploie pour leur imprimer le mouvement la bassiste des anciens, leur fronde , les armes à feu des modernes y font également soumises ; piais c’est dans l’ufage de ces dernieres sur-tout qu’il y a le plus d’avantages à tirer de notre théorie l’angle de projection s’y détermine avec la plus grande précision ; & quoique l’agent qu’on y emploie soit sujet à de grandes variations, on parvient néanmoins, dans plusieurs circonstances, à connoître assez exactement la force qu’il exerce. Mon dessein n’est point d’entrer dans le détail de toutes les pratiques qu’exlge le tir des armes à feu ; mais je ne puis me dispenser de parler de celles qui doivent contribuer à la justesse du tir, en considérant séparément les armes les plus usitées le mortier , le canon Ss le fusil. DANS LE VU1DE. n Du tir du mortier. 50. Pour assurer au tir du mortier toute la]ussesse dont il est susceptible, on commence par battre & affermir le terrein qui doit lui servir d’emplacement. On y établit une plate-forme de' forts madriers, que l’on construit le plus horizontalement qu’il est possible , & fur laquelle on place le mortier monté fur son affût. Nous verrons bientôt qu’il n’est pas nécessaire d’assujettir la plate-forme à être parfaitement de niveau il est même bon que cette précaution soit inutile; car quelque solidement qu’une plate-forme soit construite, on ne doit pas s’attendre qu’elle conserve son niveau après que le mortier aura tiré quelques coups, sur-tout si c’est un gros mortier & qu’011 y emploie de sortes charges. II n’est pas moins indifférent que les deux tourillons du mortier soient placés horizontalement sur l’affut. 51. La seconde précaution à prendre concerne la charge de poudre placée dans la chambre du mortier. Ce qu’il y a de plus essentiel à observer à cet égard, c’êst de faire ensorte que des charges égales puissent exercer la même force or tout corps étranger qu’on introduiroit dans la chambre avec la poudre, soit pour la contenir, soit pour remplir l’efpace entre la bombe & la charge, ne manque- roit pas de nuire à cette unis ormité qu’on devroit se promettre des charges égales. Je pense donc que, pour éviter les irrégularités qui peuvent provenir de l’arrangement de la poudre, le meilleur moyen seroit de la mettre dans une gargousse de papier, & de l’assujettir dans le fond de la chambre par une simple & légere compression. 5 2. On porte ensuite son attention sur les bombes. Si Mouvement des projectiles le mouvement se faisoit effectivement dans le vuide, ou danS un milieu non résistant, comme nous le supposons clans cette premiere section , il seroit fort inutile de considérer le poids & le diamètre des bombes ces quantités u’ayant aucune influence fur le mouvement des corps dans le vuide, on a pu en faire abstraction dans la théorie précédente. Mais puisque les bombes se meuvent réellement dans un milieu résistant, nous verrons que , pour la régularité du tir, il faut nécessairement que celles du même calibre aient aussi le même poids & le même diamètre. 53. On place la bombe dans le mortier de maniéré que son axe se confonde avec celui de l’ame du mortier. Rappelle axe de la bombe la ligne droite qui renferme son centre de gravité & son centre de figure ; cette ligne , lorsque la bombe est bien faite , en est un diamètre passant par le centre de l’oeil. Pour fixer la bombe dans cette situation, on se sert de divers moyens plus ou moins efficaces ; les écliffes sont fans contredit le meilleur qu’on puisse employer. Ce sont des parallélipipedes de bois de 9 à 10 lignes de largeur, de 3 à 4 pouces de longueur, & dont l’épaisseur égale la moitié du vent de la bombe. On en place quatre autour de la bombe, en les enfonçant le plus également qu’il est possible au dessous de son cercle horizontal. Mais la configuration actuelle des mortiers étant cause que les écliffes , après avoir dépassé ce cercle, sont forcées de se courber pour entrer dans le logement de la bombe, il est rare qu’elles remplissent leur objet en opposant toutes les quatre la même résistance , condition essentielle à la justesse du tir, & qu’on ne peut obtenir qu’en donnant àst’anie des mortiers la forme proposée , il y a quelques années, par un Officier DANS LE VU IDE. 29 supérieur du corps royal de rartillerie, qui s’est utilement occupé de tout ce qui a rapport au service de cette arme. Rien n’errrpêcheroit alors que les éclisses ne fussent également enfoncées , la bombe également contenue dans tout son pourtour, fa direction mieux assurée , & le tir beaucoup plus régulier *. 54. Enfin on incline le mortier suivant sangle de projection que son axe doit former avec l’horizon , & on le dirige vers l’objet que l’on veut atteindre. Cette pratique, qui est le complément de toutes les autres pour la justesse du tir des mortiers , est fondée fur le principe suivant Taxe du mortier peut être considéré comme étant l’interfection commune d’une infinité de plans , qui font tous verticaux lorsque le mortier est dans une situation verticale; mais s’il est incliné, il n’y a plus qu’un seul de tous ces plans qui soit vertical, & c’est ce plan unique, dans le prolongement duquel fe trouve la trajectoire décrite par la bombe, qu’il faut diriger vers l’objet qu’on veut frapper. II est aisé de voir en outre que la situation * M. Pillon d’Arcquebouville avoit proposé de prolonger de quelques pouces la partie cylindrique de l’ame du mortier , de maniéré à laisser une retraite large de a lignes, pour servir d’ap- pui aux éclisses au moyen de quoi dans le mortier de 12 pouces la longueur de l’ame jusqu'à la retraite seroit de 14 po. x li. 6 p”. On est sûr alors que les éclisses étant appuyées fur cette retraite font également enfoncées, 8c que placées aux extrémités des diamètres vertical & horizontal, la bombe est également assujettie dans son pourtour. Les épreuves faites à Metz en 1769 , 8c à- Douai en 1770 , prouvent que cette configuration contribue beaucoup á la conservation des mortiers, 8c qu’elle influe sur U justesse 8c runiformité du tir, 50 Mouvement des projectiles de la plate-forme, horizontale ou non, n’influe en rien sur l’exislence de ce plan vertical c’est ce qui m’a fait dire plus haut, que la justesse du tir du mortier ne dépend ni du niveau de la plate-forme , ni de celui des tourillons. II n’est plus question que de déterminer dans le mortier la position de ce plan vertical c’est encore au même officier qu’on est redevable d’un instrument propre à indiquer ce plan , à le diriger fur l’objet, & à donner au mortier une inclinaison convenable selon les circonstances. Cet instrument, qu’on nomme quart de cercle , étant connu , il est inutile d’entrer ici dans le détail de fa description & de la maniéré de s’en servir je dirai feulement que d’autres officiers ont aussi imaginé des moyens très-simples & très-ingénieux pour remplir les mêmes objets, mais fans rien ajouter à la solidité du premier quart de cercle, qui, à cet égard, l’emporte jufqu’à présent fur tous les autres. De la force de projection de la poudre dans le - mortier. 5$. Pour connoître la force qu’une charge de poudre est capable d’exercer dans le mortier , ou la vîteste qu’elle peut communiquer à la bombe , on tirera un coup d’é- preuve avec cette charge , en donnant au mortier l’in- clinaifon qu’on voudra ; assez petite cependant, pour que la bombe restant moins long-tems exposée à la résistance de l’air , on puisse conclure une vitesse plus approchante de la véritable. Le coup étant tiré , on s’assurera de la situation du point de chiite relativement au point de départ , en mesurant sa distance horizontale pour avoir la valeur de b , 6c fa distance verticale pour avoir celle de DANS LE VUL-DI.' c ; connoissant donc les quantités b , c & la tangente í de l’angle de projection , on se servira de l’équation a — §• 335 qui donnera la valeur de a , & par conséquent la vitesse de la bombe §. 33. Si, par exemple, le coup d’épreuve a été fait avec quatre onces de poudre, & qu’en inclinant le mortier de 20 degrés, la bombe ait été portée k la distance horizontale de 90 toises ou 540 pieds , en un point élevé de 20 pieds au dessus dit niveau de la batterie, on trouvera a = 468 pieds, & l’on conclura que la charge de 4 onces communique à la bombe de 8 pouces une vitesse d’environ 168 pieds par seconde. 56. Si le point de chute est de niveau avec le point de départ, ou fera usage de la formule a — ~ 4 ~ y ~ , pour trouver la vitesse de la bombe. Dans ce cas il suffit d’avoir la portée sous un angle donné pour connoître les amplitudes horizontales fous tout autre angle avec la même charge , puisque ces amplitudes font proportionnelles aux sinus du double des angles de projections §. 42 . C’est fur ce principe qu’ont été calculées les tables du Bombardier françois par M. Belidor tables inutiles en ce qu’il est très-facile d’y i suppléer par les tables ordinaires des sinus ; & défectueuses dans la pratique, parce qu’elles supposent que le mouvement des bombes se fait dans le Vuide. 57. Quoique I4 formule a — ne donne point la force de projection, ou la vitesse du projectile, lors- qu’il fe meut dans un milieu résistant ; elle peut cependant servir à comparer les vitesses résultantes de deux charges de poudre qui diffèrent peu entre elles; ou les vitesses que produit la même charge de deux efpeces de poudre de Mouvement des projectiles 31 qualités différentes. Par exemple, le petit mortier dont on se sert pour éprouver les poudres, étant dirigé fous sangle constant de 45 degrés, donneroit a — ~b dans le vuide ; mais quoique dans l’air on ait toujours a > ~ b, on peut fans erreur sensible considérer les forces de projection exprimées par a , comme étant proportionnelles aux amplitudes b ; & puisque les vitesses dues aux hauteurs a font en raison de V í, on pourra conclure que ces vitesses font auíîi comme y b. Si donc on éprouve deux efpeces de poudre, qu’avec trois onces de Tune le globe soit porté à la distance b , & avec la même charge de l’autre à la distance B, il n’y aura aucun inconvénient à conclure que les vitesses résultantes au même mobile de la même charge de deux efpeces de poudre, font entre elles comme y b est à y B, c’est-à-dire comme les racines quarrées des portées obtenues avec le mortier d’épreuve. 58. On peut auffi trouver la vitesse d’une bombe par le tenis qu’elle met à parcourir fa trajectoire ; car ce teins étant le même que celui qu’elle emploieroit à parcourir la droite A C fig. 12. d’un mouvement uniforme §. 26 , en vertu de la force de projection si elle agissoit feule fur le projectile , il est clair qu’en divisant cet espace AC par le tems, on aura la vitesse. II suffit alors de mesurer l’une des deux distances du point de chute, l’horizontale ou la verticale , on aura l’autre par la formule du tems qui est y §• 38 . Inobservation du tems pouvant être d’une grande utilité dans une infinité de circonstances, & principalement dans le mouvement des projectiles pour en connoître la durée, il ne sera pas hors de propos d’entrer ici dans quelque» détails fur la maniéré de la faire avec précision. DAVS LE VUIDE. H De la maniéré d'observer le tems. 5 9. Pour connoître le tems qu’un projectile met à parcourir fa trajectoire, depuis le point de départ jufqu’an point de chiite , on peut fe servir d’une montre, dont on comptera le nombre des vibrations qu’elle sera pendant cet intervalle l’instant de l’inflammation , & Fínstant de la chute font les deux termes entre lesquels il fout compter les vibrations ou battemens de la montre. On sent que la plus grande précision est ici nécessaire , parce qu’une vibration de plus ou de moins peut foire une différence considérable, fur-tout si le mobile a une grande vitesse, & que le point de chute soit peu éloigné. La durée de chaque vibration de la montre étant connue, on con- noîtra par leur nombre le tems que l’on cherche. L’ufoge ordinaire des montres étant borné à indiquer l’heure, c’est fur la marche des aiguilles que l’on porte communément toute son attention, fans s’embarrasser des détails de construction qui fervent à régler la durée des vibrations cette connoissance étant cependant nécessaire pour un grand nombre d’obscrvations , voici comment on pourra sc la procurer on sera démonter la montre par un horloger , & l’on examinera combien il y a de dents & d’ailes, t °. dans la roue de longue tige qui porte l’ai- guille des minutes & fait un tour par heure ; 2°. dans la roue moyenne & dans son pignon; 3 0 . dans la roue de champ & son pignon ; 4°. dans la roue de rencontre & son pignon. Nommant L le nombre des dents de la roue de longue tige ; M le nombre des dents de la moyenne ; n , le nombre d’ailes de son pignon ; C, le nombre des dents de la roue de champ; c, celui des ailes de son pi- S Mouvement des projectiles U gnon; R le nombre des dents de la roue de rencontre; & r , celui des ailes de son pignon ; la formule * m * c — — exprimera le nombre des vibrations que le balancier fait en une heure, ou le nombre de battemens que l’on entend en mettant la montre à l’orcille. Divisant ce nombre par 60, on aura le nombre de vibrations qu’elle fait en une minute ; & si l’on divise ce dernier nombre encore par 60, .>-i aura le nombre de ses vibrations par seconde *. Supposons, par exemple, que la roue de longue tige a 56 dents; la roue moyenne 54; son pignon sept ailes; la roue de champ 48 dents ; son pignon six ailes ; la roue de rencontre 15 dents & son pignon six ailes; mettant ces valeurs dans la formule ci - dessus, on trouvera S ~yxZxïp- = I 7 2 ^ 0 » c’est-à-dire qu’une pareille montre fait 17282 vibrations par heure; 17 ^-° ou 288 vibrations par minute, & ^011 4 f par seconde d’où il est aisé de voir que 24 vibrations font 5 secondes, 36 font 7 ~ secondes , & ainsi des autres. * Suivant la nouvelle division du tems, il est aisé de construire les montres de maniéré que le balancier fasse 40000 vibrations dans Une heure , qui est la dixieme partie du jour ; 5 c comme cette nouvelle heure se sous-divise en 100 minutes & la minute en 100 secondes , il est clair que le balancier fera quatre vibrations par seconde. La nouvelle seconde se trouvant être à l’ancienne dans le rapportée 10S à 125, la vitesse du son sera, pendant sa durée ,de !_CL X 173 to, to. '“ S — 149, 47 , ou de 291,23 mètres. 11 fuit du même rapport que la longueur du nouveau pendule à , , „ , „ , pi po li pi p 0 li lecontles, celle de I ancienne etant de 3 o 8, 57, est de 2 3 10, 2Z — 0,7335 mètres ; ce qui peut aussi servir à mesurer le teins, DANS LE VUIDE. 3Í Ce n’est pas tout, & l’on riíqueroit de n’avoir qu’une observation imparfaite, si l’on ne parvenois, par une méthode sûre,.à compter les vibrations avec facilité, & de maniéré à pouvoir en retenir le nombre fans confusion. Voici celle que je conseille de suivre, & dont je me fuis toujours servi avec succès appliquez la montre à l’oreiile & comptez les vibrations quatre à quatre, en disant une, deux, trois, quatre ; une, deux, trois, quatre ; une, deux , trois , quatre , &c. avec la même vitesse que les vibrations fe font entendre. Mais, pour mieux s’assurer du nombre de fois què vous aurez compté quatre vibrations, au lieu de prononcer le mot quatre à chaque quatrième vibration, prononcez successivement à fa place les nombre un , deux, trois, quatre, cinq , &c. & dites une, deux, trois , UN.; une , deux, trois , DEUX ; une , deux , trois, trois ; une, deux, trois, quatre; une, deux, trois, cinq; une, deux , trois, six , &c. au moyen de quoi le dernier nombre prononcé indiquera toujours combien de fois vous aurez compté 4 vibrations ; & ce nombre multiplié par 4 fera le nombre de vibrations comptées pendant l’obfer- vation ; 011 y ajoutera 1,2 011 3 , si l’obfervation s’est terminée à la i tre . ou à la 2°. ou à la 3 e . des quatre dernieres vibrations. Si, par exemple, en observant le mouvement d’une bombe projetée fous l’angle de 30 degrés, on a compté 27 vibrations de la montre, & que la bombe soit tombée à la distance horizontale de 120 toises, ou 720 pieds; on trouvera d’abord que dans une montre pareille à celle qu’on a décrite ci-dessus , les 27 vibrations répondent i ; -j secondes. Or A C =.b y im — 831,4; divisant donc ce nombre par j f, on aura 148 pieds environ pour la vitesse Mouvement des projectiles 6 de la bombe. Et puisque le tems est exprimé par la formule §• 3^0 > l’équation '^ h L±JL r= 5 1 donnera la valeur de c , laquelle, parce qu’elle est négative, fait voir que le point de chute est d’environ 59 pieds au dessous du niveau de la batterie. II est inutile de s’arrcter davantage fur le tir des mortiers en multipliant les exemples, nous ne ferions que répéter ce qui a été dit dans la théorie précédente des angles de projections, & des autres circonstances qui accompagnent le mouvement des projectiles. Passons au tir du canon. Du tir du canon. o. Les principaux élémens qui entrent dans la théorie du tir du canon , & de la connoissance defquels dépend essentiellement la justesse de ce tir , font , 1 °. la vitesse du boulet, ou le tems qu’il met à parcourir fa trajectoire. 2°. Les dimensions de la piece de canon. 3 0 . La distance de l’objet qu’on fe propose de frapper. 61. Pointer une piece de canon, c’est diriger le plan Vertical qui passe par son axe fur l’objet qu’on veut atteindre ; en donnant à cet axe une inclinaison convenable. 62. Le coup d’ceil bien exercé est le moyen le plus simple & le plus exact qu’on puisse employer pour déterminer la situation de ce plan vertical dans le canon il divise toujours la piece en deux parties semblables & parfaitement égales, abstraction faite des anses & des tourillons ; de maniéré que dans la section fe trouvent les parties les plus élevées de la surface extérieure, & par conséquent ses deux points les plus faillaiis, l’un à l’extrémité de la culasse fur la plate-bande ; l’autre vers la bouche fur la moulure qu’ori appelle bourelet èn forme de tulippe, ou le plus dans le vuide. 37 grand renflement de la bouche. La ligne menée par ces deux points sert à diriger la piece vers le but, & c’est dans fa direction que doit être placé l’oeil du Canonier pour pointer la piece. 63. Ainsi, pour pointer une piece de canon, il faut diriger la vue suivant une ligne droite qui rase sa surface extérieure & passe par l’extrémité des parties les plus saillantes & les plus élevées de la culasse & de la bouche; par le dessus de la plate-bande de culasse, & le dessus du renflement de la bouche. C’est cette ligne, nommée ligne de mire , ou rayon visuel, qu’il faut diriger avec le canon vers l’objet que le boulet doit frapper. 64. Lorsque les roues de l’affut & les tourillons de la piece font de niveau, la lumière doit fe trouver dans le plan vertical qui passe par Taxe du canon dans ce cas, que l’on cherche à fe procurer par la construction des affûts , & par des plate-formes qui ne penchent pas plus d’un côté que de Pautre ; le Canonier fait très-bien de placer l’œil vis-à-vis de la lumière pour pointer la piece mais ft, par quelque cause que ce soit, Taxe des tourillons n’est point placé horizontalement,la lumière ne peut qu’induire en erreur pour la vraie direction de la piece ; le point qui y répond alors fur la plate-bande de culasse n’étant pas le plus élevé, ni par conséquent dans le plan vertical de Taxe du canon.'Il est vrai qu’en dirigeant la vue suivant un autre plan vertical parallèle à celui-ci, í’erreur seroit insensible quant à la direction ; mais, outre que la chose est très-difficile, il en résidteroit encore beaucoup d’in- certitude dans l’estimation de l’angle de projection. Afin d’éviter tous ces inconvéniens , je pense que la meilleure maniéré de pointer une piece avec justesse, seroit de se 3 8 Mouvement des projectiles placer à trois ou quatre pieds en arriéré de la culasse, §r de viser de là par les deux points qui paraissent les plus élevés fur la plate-bande de culasse , & fur le plus grand renflement de la bouche ; fans s’embarrasser ni de la lumière , ni des autres boutons de mire, dont Fufage est toujours inutile, & souvent nuisible à la justesse du tir, Cest à trouver ces deux points, à les confondre ensemble dans le même alignement avec l’oeil & Pobjet qu’on veut frapper, que le Canonier doit principalement s’exercer & se former le coup d’œil. Inexpérience a souvent justifié la préférence qu’on doit donner à cette maniéré de pointer, fur celle qui est communément usitée celle-ci exige que les tourillons de la piece soient situés horizontalement, tandis que cette condition , qui a rarement lieu, est inutile pour l’autre. Au reste, tout ce que nous venons de dire, ji’esl vraiment utile que dans les cas qui exigent de la précision, & une grande justesse de direction; & l’on sent bien que, pour les objets qui ont une certaine étendue horizontale, on est dispensé d’y regarder de si près; Pangle de projection, relativement à la distance de Pobjet , est alors ce qu’il y a de plus essentiel à considérer. De la vuejse du boulet. 6 j. Si nous avions une connoissance parfaite de toutes les propriétés des matières qui entrent dans la compositioii de la poudre, si nous connoislxons le degré d’expansibilité du fluide élastique dans lequel réside toute la force de cet agent ; la maniéré dont il fe développe par l’inflammation & qu’il exerce son effort; il feroit inutile de recourir n d’autres moyens pour déterminer la vitesse qu’une charge de poudre peut imprimer à un projectile, Ce n’est pas qu’on dans le vuide. 35 » ji’ait tenté diverses théories pour déduire de la nature même de la poudre la force qu’elle est capable d’exercer mais quoique d’accord avec l’expérience dans certains cas particuliers, ces théories s’en éloignent tellement dans une infinité d’autres, que leur usage nous expose continuellement à Terreur ou à l’incertitude. Nous nous bornerons donc ici à Texamen des effets de la poudre , fans chercher à remonter à leurs causes ; nous consulterons Texpérience , & nous indiquerons tous les procédés qu’il faut suivre pour la bien consulter. 66 . La vitesse d'un boulet se trouve ou par le tems qu’il a mis à faire son trajet depuis la bouche du canon jusqu’à sa chute; ou par Tangle de projection &la situation du point de chute , relativement au point de départ. Le tems qu’un boulet met à parcourir fa courbe peut s’obferver, comme pour la bombe, par le moyen d’une montre mais ce tems étant ordinairement très-court, le moindre mécompte peut occasionner une erreur considérable. Je ne conseillerai donc d’employer cette méthode qu’avec la plus grande précaution & au défaut de tout autre moyen. En voici une beaucoup plus exacte & très- praticable dans les écoles d’artillerie elle dépend de la vitesse avec laquelle le son fe propage, & qu’on a trouvé être de 173 toises par seconde. Pour s’en servir, un observateur fe placera aux environs de la butte , en un endroit d’où il puisse voir le boulet frapper contre la butte au même instant qu’il entendra le bruit du canon. II ne fera pas difficile de trouver cet endroit lorfqu’on fera prévenu que, si Ton voit arriver le boulet au but avant qu’on entende le bruit du canon , c’est une marque qu’on est trop loin de la batterie, dont il faudra par conséquent se iap- 4. & par conséquent de dix pouces au dessus du piquet Q; c’est-à-dire que le point i, où l’horizontale menée du point m rencontroit la réglé BC, étoit de 10 pouces au dessus de ce piquet. Le coup étant tiré, l’etn- preinte g du bas du boulet fur la réglé B C, se trouva à 11 p». 6 b. au dessus du piquet, ou à 2 P°. 6 >>. au dessus du point /. Le boulet s'est donc élevé en sortant de la piece, il est parti sous un angle § m i, dont la tangente — - 4 - Cn prenant l’unité pour rayon §. 5.. Le logarithme tangente est 7,9385475 qui répond à un angle de o° 29' 50". Ayant ensuite mesuré la distance du point de chiite, on trouva qu’il étoit à 1377 pieds de la bouche du canon, & de 11 P>. o po. 9 li. plus bas que le point m, çe-qui donne b — 1377; c CIC 11,0625; ces valeurs substituées dans l’équation a — HLìJlìll & dans la formule y—~ donnent 1117 pieds par seconde pour la vitesse du boulet; & 1,237" pour le teins du trajet, Mouvement des projectile; 46 Voyons maintenant s’il n’y a pas une correction à faire à cette vitesse , qui est sûrement trop grande, si la pesanteur a abaissé le boulet pendant qu’il a parcouru l’espace m g de 4 toises ou 24 pieds comme la différence ne peut pas être bien considérable , nous emploierons la vitesse même que nous venons de trouver, pour connoître le teins que le boulet a mis à parcourir 24 pieds ; ce tems fera de de seconde, dont le quarté multipliant 15,1 pieds, donne 1,00409 lig. pour Rabaissement du boulet lorsqu’il a rencontré la réglé B C. Cette quantité ajoutée po li avec 57 = 2po* 6donne 2 7, 00409 ou 2,58367 po. pour la nouvelle tangente de sangle de projection, en prenant 24 pieds, ou 288 pouces pour rayon. Le logarithme de cette tangente est 7,9528449, qui répond à un angle de o 0 30' 50 Cette nouvelle tangente mise dans les formules -& y- avec les quantités b — 4 cette ordonnance. ííll 50 Mouvement des projectiles TABLE I. Calibres. Deim- A l'ex- trdmitd de ia culasse. iiametres Au rendement de la bouche. Interval*’. entre ces deux demi diamètres* Distances dupointde rencontre de la ligne de mire avec l'axe. Angles de la ligne de mire avec l'axe. =4 po. po. po. pi. 0 - " 2 1 24 9,02 6,45 ii ;-,63 24,61 1 15 6 n. S. l6 7,9° 5,65 113,18 23,63 1 8 20 Sj 11 7,-7 5,-5 106,89 22,37 1 5 36 6,27 4,48 96,52 20,11 - 3 45 IV 2 6,23 4,95 76,53 24,13 O ^oò 8 5,44 4,3° 66,72 21,07 00 0 Wì 4 4,3- 3,4° 52,99 16,64 0 59 2 po. po. po. pi. O ' " 24 8,9- 6,45 117,63 25,67 1 11 33 l6 7,80 5,64 -3,-8 24,72 1 5 36 12 7,08 5,-2 106,89 23,31 13 2 8 6,19 4,48 96,52 21,06 1 0 54 4 4,9- 3,55 80,00 17,46 0 58 26 74. Dans la table suivante se trouvent les abaissemens de la ligne de mire au dessous de la direction de Taxe du canon ; ou les valeurs numériques en pieds & décimales de pied de l’expression ^ - ^ — n , relativement aux différens calibres des pieces & pour différentes distances du but, depuis 60 jusqu’à 400 toises. Cette table a été calculée d’après les dimensions prescrites par le règlement de 1769. II peut se faire que ces dimensions ne soient pas exactement observées dans la fabrication des pieces; mais quand les valeurs de m ou de n seroient d’une ligne DANS LE VUIDE. 51 trop grandes ou trop petites, il n’en ponrroit résulter qu’une erreur de 3 à 20 pouces depuis la distance de 60 toises, jusqu’à celle de 400. TABLE II. Des abaìjjemens de la ligne de mire au dejfous dc la direclion de Caxe du canon . 0 1 p Pieces de siégé , de bataille. ? 24 l6 12 8 12 8 4 to. pi. pi. pi. pi. pi. pi. pi. 60 7,32 6,7 0 6,45 6,31 5,71 5,77 5-85 80 9*94 9,09 8,74 8,54 7,76 7,81 7,9° 100 12,57 11,48 11,03 10,77 9,80 9,85 9,94 120 1 1> l 9 13,87 13-32 13,00 n-84 11,89 n ,99 140 17,81 16,25 15,62 15,22 -3,88 13,93 14,03 160 20,43 18,64 17,91 17,45 15,92 15,98 16,07 180 23,05 21,03 20,20 19,68 17,96 18,02 18,12 200 25-67 23,42 22,49 21,91 20,01 20,06 20,16 220 28,29 25,81 24,78 24,-3 22,05 22,10 22,21 240 30,91 28,20 27,08 26,36 24,09 24,14 24,25 260 33,54 3o,59 29,37 28,59 26,13 26,18 26,30 280 36,16 32,98 31,66 30,81 28,17 28,22 28,34 300 38,78 35,37 33,95 33,04 30,11 30,26 30,38 320 41,41 37,76 36,24 35,27 32,26 32,31 32,43 340 44,03 40,14 38,53 37,5o 34,30 34,35 34,47 360 46,65 42,53 40,82 39,72 36,34 36,39 36,51 380 49,28 44,91 43,ii 4i,95 38,38 38,43 38,56 400 51,90 47,30 45,40 44-i8 40,42 40,47 40,601 75. Si le boulet parcouroit une ligne droite suivant la direction de l'ame de la piece, il est clair qu’il faudroit diriger le canon de façon que la ligne de mire tombât au dessous du but que le boulet doit frapper, de la quan- •54 Mouvement des projectiles tité indiquée dans cette table, pour le calibre & la distance donnés mais ce cas ne peut jamais arriver ; le boulet s’abaisse de plus en plus au dessous de la direction de Taxe du canon à mesure qu’il s’éloigne ; il faut donc connoître ces abaissemens ou chûtes du boulet, pour diriger en conséquence la ligne de mire au dessus ou au dessous du but. La table suivante contient les dissérens abaissemens du boulet, relativement au tems qu’il met à parcourir un espace donné ; les calculs de cette table font fondés fur ce que les hauteurs des chûtes font proportionnelles aux quarrés des tems , & fur la supposition que durant la premiere seconde de sa chûte un corps descend de 15,1 pieds. TABLE III. Des abaijfemens du boulet en dìffèrens tems. jTems. Abaissem'. Tems. Abaissem*. Tems. Abaislcm’. " pi. » pi. * pi. 0,1 0,15 -t 18,27 2,l 66,59 0,2 0,60 1,2 21,74 2,2 73,08 0,3 1,36 1-3 25-52 2,3 79,88 0,4 2,42 -4 29-59 2,4 86,97 °-5 3,77 M 33-97 2,5 94,37 0,6 5,44 1,6 38-65 2,6 102,08 0,7 7,40 i,7 43-64 2,7 110,08 0,8 9-66 1,8 48,92 2,8 118,38 o,9 12,23 • *>9 54-51 jj 2-9 126,-9 1,0 13,10 2,0 60,40 1 3-0 -35,90 76.' Connoissant donc le tems qu’un boulet met à parcourir un des espaces de la premiere table, on trouvera DANS LE VU IDE. 53 par le moyen des deux, comment il faut diriger îa ligne de mire si l’on fait, par exemple, qu’un boulet de 24 met deux secondes & deux dixiemes de seconde à parcourir ioo toises , on voit par la derniere table, que dans ce teins le boulet s’abaisse de 21,74 pieds; & comme la premiere table indique qu’à cette distance, la ligne de mire s’abaisse de 25,67 pieds, on conclura que cette ligne doit être dirigée à 3,93 pieds au dessous d u but pour que le boulet puisiè le frapper. En général, le canon doit toujours être pointé au dessous du but, lorsque rabaissement du boulet est moindre que celui de la ligne de mire , d’une quantité égale à la différence de ces deux abaissemens ; & au dessus dans le cas contraire ; mais dans ce dernier cas il vaut mieux fe servir du but en blanc , comme nous verrons ci-après. 77. Cette théorie bien entendue, on ne fera plus étonné que, pour certaines positions du but, il faille diriger la ligne de mire, de maniéré qu’elle plonge à terre à une grande distance du but. En voici un exemple que le canon A fig. 17. , & le but F soient élevés l’un & l’autre de quatre pieds au dessus d’un terrein horizontal ; que leur distance soit de 160 toises; le canon une piece de bataille du calibre de 12, & la vitesse du boulet de 1200 pieds par seconde. Le tems employé à parcourir cet espace sera de 0,8 de seconde ; Rabaissement du boulet à cette distance est donc de 9,66 pieds, & celui de la ligne de mire de 15,92 pieds d’oùl’on voit que cette ligne doit être dirigée à 6,26 pieds au dessous du but ; mais ce but n’étant élevé que de 4 pieds, il est clair qu’au pied du but la ligne de mire doit être enfoncée en terre de 2,26 pieds. Pour trou- yer le point P où elle rencontre la surface d u terrein, on 54 Mouvement des projectiles abaissera de sextrémité B du canon la verticale B E ; les triangles semblables B E P, HPG donnent BEGH ou BE -J- G H G H EG PG ,&en nombres , 6,26 2,26 160 PG = 57,76 toises , c’est-à-dire que la ligne de mire doit être dirigée de maniéré qu’elle plonge à terre à environ 57 toises du but. Une plus grande vitesse du boulet éloigneroit encore plus le point P du but. De t angle de projection. 78. Nous avons dit §. 29. que sangle de projection étoit, en général, celui que Taxe d’une arme à feu forme avec l’horizon dans le tir du canon, au lieu de rapporter cet angle à l’horizon , il est souvent plus commode de considérer l’inclinaison de la piece relativement à la droite qu’on imagine tirée de la bouche du canon au but, ou à I’objet que l’on se propose d’atteindre; ce qui revient à la définition générale de sangle de projection , lorsque le but est au niveau de la batterie. Si son connoît la vitesse du boulet & la situation du but par rapport à la batterie , on trouvera quel doit être sangle de projection relativement à shorizon , ou la tangente de cet angle, par 1 équation t zr ——— - ~ b - 3. 30. J Comme 011 ne tire ordinairement le canon que sous des angles très-aigus, il suffira de prendre t zz 2 - a - f 4 ac - Dans cette expression, le terme 4 a c a le signe — quand le but est au dessus du niveau de la batterie ; le signe-f* quand il est au dessous ; & l’on a 4 a c zz o quand il est au même niveau. L’angle de projection horizontal étant trouvé, on connoîtra celui que saxe de la piece forme avec la droite menée de la bouche du canon au but ; sexpression de la tangente de cet angle étant j §• 3^» avec le signe DANS LE VUIDE. 55 supérieur pour la preiniere position du but, & l’inférieur pour la seconde. Cet angle n’est autre chose que la différence ou la somme de deux angles dont l’un a t pour tangente , & l’autre j. §. 4- Supposons, par exemple , qu’on veuille atteindre un objet éloigné de la batterie de 150 toises , & élevé de 27 pieds au dessus du niveau de cette batterie, avec une piece de 16 , dont le boulet a une vitesse de 384 pieds par ri ia—i/4aa—bb—4ac1 seconde ayant mis dans 1 équation t — -— b - les valeurs de b ~ 900 pieds ; c — 27 & a =. 2458 , on trouvera lt = 9,0896854 qui est le log. tangente d’un angle de 7 degrés; si de cet angle on retranche celui quia I pour tangente, on aura 5 e 17 ' pour l’angle formé par Taxe de la piece & la droite tirée de la bouche du canon au but. II n’est plus question que de donner à la piece de canon l’inclinaifon indiquée par cet angle. 79. Pour diriger une piece de canon suivant l’angle que son axe doit former avec l’horizon , on peut se servir d’un quart de cercle pareil à ceux dont on faifoit autrefois usage dans les batteries de mortier on introduit à cet effet dans l’ame du canon une réglé bien dressée des deux côtés , de façon qu’il en reste une partie en déhors ; fur cette partie extérieure, qui doit être dans la direction de la piece , on pose le quart de cercle, & l’on incline la piece jufqu’à ce que le fil à plomb soit fur le degré que l’on demande. S’il s’agit inexpériences qui exigent une grande précision, on emploiera le quart de cercle dont la description fe trouve à la fin de la Géométrie de M. Bézout. Mais ces moyens n’étant point praticables à la guerre, nous allons proposer une autre méthode plus simp'e & d’un usage facile pour donner à une piece l’inclinaison qu’elle doit avoir fur la 5 6 Mouvement des projectiles ligne menée du canon au but, sans nous embarrasser de son inclinaison à l’horizon. 80. Soit le canon AB fig. 18. , dont Taxe est dirigé suivant la droite ABC, & la ligne de mire suivant G HC menez la droite B F, de la bouche du canon au but que l'on veut atteindre lorsque la ligne de mire aboutit au même but F, il est clair que sangle CBF que saxe de la piece forme avec B F, est égal à sangle HCB qu’il forme avec la ligne de mire, moins sangle C F B qui a son sommet au but F, & s’appuie fur le demi-diametre B H de la piece au plus grand renflement de la bouche. Mais ce dernier angle est toujours très-petit; puisque pour la piece de 24 , le but étant éloigné de 100 toises, il n’est que d’environ trois minutes on peut donc le négliger dans la pratique, & regarder sangle CBF comme égal à sangle HCB. 81. Si cependant l'on veut avoir égard à sangle C F B, on pourra consulter la table suivante, qui contient les valeurs de cet angle pour tous les calibres, & pour différentes distances du but, depuis 60 jusqu’à 300 toises. SANS,LÉ VUIBÊ. 5 ? T A B L E I V. Des angles qui ont leur sommet au but & s'ap - puicnt fur le demi - diamètre de la bouche dit canon. de bataille. Distances du but. O 44 L’anglé'ÇBF étant connu par le §. 71, on connoîtra sangle H C B, soit qu’on le suppose égal à C B F , soit que, pour plus de précision, on le suppose égal -ì-CFB, ce dernier étant connu par la table précédente pour le calibre & la distance donnés. Mais, nous le répétons , on peut négliger langle CFB, moins à cause de sa petitesse, que parce que le boulet s’éleve presque toujours au dessus de Taxe du canon §. 68. . 82. Cela posé , la ligne de mire va nous servir à donner à la piece de canon l’indinaison qu’elle doit avoir. Corso L 5$ Mouvement dìs projectiles que cette ligne est dans fa situation naturelle, c’est-à-dîra lorsqu’elle passe sur la plate-bande de culasse & sur le plus grand renflement de la bouche, elle forme avec Taxe du canon l’angle H C B fig. i8. , dont les différentes valeurs relativement au calibre se trouvent dans la table I; de forte que st , dans cette situation, la ligne de mire est di- rigée fur l’obiet F que l'on veut frapper, Taxe de la piece formera un angle égal avec la droite B F menée de la bouche du canon à l’objet F. Mais si cet angle C B F doit être plus grand que celui que l’on trouve dans la table I pour un calibre donné, il faudra que la ligne de mire, pour faire le même angle avec l’axe de la piece, soit élevée du côté de la culasse d’une certaine quantité GI fig. 19 qu’il fera ' facile de connoître car faisant, comme ci-dessus, AB = /; AG = m,BH = 2 n, & nommant T la tangente de l’angle connu H C B, on aura B G — -p-, 8c AG — é-î-î> Or les triangles semblables CBH , GAI donnent CB BH CA AI, ou n / - f- AI; doncAI= TI + n, retranchant AG = m, on aura GI “ Tl _- m—n. Si on éleve donc la ligne de mire du côté de la culasse , d’une quantité GI — T/— m—n , &, qu’en la faisant passer fur le point H , on la dirige fur l’objet F, la piece aura l’inclinaifon qu’elle doit avoir, puisque son axe fait alors avec la droite B F sangle que l’on demande. 83. La connoissance des divers haussemens de la ligne de mire pouvant être utile dans la pratique ; nous avons calculé la table suivante qui présente .ces haussemens relativement aux angles que la ligne de mire doit former avec l’axe de la piece, ou à ceux que cet axe doit former aveç la droite menée du canon au but. DANS LE VITIDE. ’59f TABLE V. Des haujfemens de la ligne de mire relativement aux angles qu elle forme avec l'axe du canon. Angles de Haussemens do la ligne de mire mire avec Pieces de sieee de bataille. Taxe du •canon. r —- 24 l6 12 8 12 4 0 ' n po. lì. po. li. po. li. po. lì po. li. po. p. po. n. 0 58 23 0 O- 0 58 44 0 0 0 0 . . . . 0 59 2 0 0 0 0 0 O 1 3 45 0 O 0 I 0 1 0 I 1 ? 36 0 O 0 I 0 2 0 2 0 I 1 8 20 . . • O 0 0 I 0 2 0 3 0 2 0 2 1 15 0 . ' . O 3 0 4 0 4 0 4 0 4 0 3 1 i; 6 O O O 3 0 4 0 4 0 4 0 4 0 3 x 30 0 O 6 O 9 0 9 0 9 0 8 0 7 0 6 1 43 I 0 1 2 I 3 I 2 I O 0 11 0 9 2 O I 6 8 l 8 I 7 I 4 1 3 I O 2 13 2 I 2 2 2 2 2 I I 8 ï 6 I 2 2 30 2 7 2 8 2 7 2 6 2 O 1 ÌO I 3 2 4; 3 Z 3 2 3 I 2 11 2 4 2 2 I 8 3 0 3 7 3 8 3 7 3 3 2 8 2 3 I 10 3 -3 4 I 4 2 4 I 3 8 3 0 2 8 2 z 3 3 ° 4 7 4 8 4 6 4 I 3 3 3 0 2 4 3 43 5 I 3 2 5 O 4 6 3 9 3 3 2 7 4 0 t 7 3 8 3 3 4 I I 4 1 3 7 1 10 4 -3 6 2 6 2 3 10 3 4 4 5 3 10 3 0 4 3° 6 8 6 8 6 4 3 9 4 9 4 2 3 3 4 43 7 2 7 2 6 10 6 2 3 I 4 3 3 6 3 0 7 8 7 8 7 4 6 8 5 3 4 9 3 9 3 13 8 2 8 2 7 10 7 I 3 9 5 O 4 O 3 3° 8 9 8 8 8 3 7 6 6 I 3 4 4 2 3 43 6 0 9 3 9 2 8 9 7 I I 6 3 3 7 4 3 9 9 9 8 9 8 4 6 9 5 I I 4 8 co Mouvement des projectiles Angles de la ligne de mire avec Taxe du canon. Haustemens de la ligne de mire. I 24 steces d c siege 11 j cl j batail e. 4 ° - po. 1 ,. po. ii. po. h. P°- li. po. !.. po. h. po. li. 6 15 IO 3 10 2 9 8 8 9 7 I 6 2 4 I I 6 30 IO 10 10 8 10 2 9 7 5 6 6 5 2 6 45 11 4 11 2 10 7 9 7 7 9 6 9 5 4 7 O 11 10 11 8 11 I IO O 8 I 7 I 5 7 7 -5 12 4 12 2 11 6 10 5 8 5 7 5 5 10 7 30 12 I I 12 8 I 2 O 10 10 8 9 7 8 6 1 7 4; '3 5 -3 2 12 6 11 3 9 I 8 O 6 4 8 O -3 I I -3 8 12 1 I II 8 9 5 8 3 6 6 8 1 5 14 6 m 2 13 5 I 2 4 9 10 8 7 6 9 8 30 -5 0 -4 8 J 3 I I 12 9 IO 2 . 8 10 6 I I 8 45 -5 6 r 5 2 14 5 rZ 2 10 6 9 2 7 2 9 O l6 O 15 8 -4 I I -3 7 9 *5 -6 7 1 6 2 -5 5 -4 0 9 30 '7 1 l6 8 15 10 >4 5 9 45 17 8 17 2 l6 4 14 10 IO O 18 2 17 8 l6 10 -5 3 IO -5 18 8 18 3 -7 4 -5 8 IO 30 -9 3 18 9 17 9 l 6 I IO 45 l 9 9 19 3 ,8 3 l 6 7 11 O 20 4 19 9 18 9 17 O 11 -5 20 10 20 3 O 3 -7 5 11 30 21 4 20 9 -9 9 17 10 11 45 21 1 I 2 I 3 20 > 18 3 12 O 22 5 21 10 20 8 18 9 Nota. Si la ligne de mire est horizontale , il est clair que les angles compris clans la premiere colonne de cette table, font les angles d’inclinaison de la piece par rapport à l’horizon, c’est-à-dire les angles de projection, qu’il est d’aiileurs facile de déduire des mêmes tables, quand la ligne de mire est inclinée d’une quantité connue. DANS LE VUIDE. 3 130 2 31 2 3 140 2 21 1 54 150 2 12 1 46 160 a 4 1 39 170 1 56 1 34 Suite de la table V pour les obujìers. Anglesde Haussemens. mire avec Taxe de [’obusier. Obi de 8 po fiers de 6 po 0 r li pt li pt 0 1; 1 9 2 3 0 30 3 ? 3 9 0 45 5 4 5 2 I O 7 2 6 7 1 15 9 ° 8 0 1 30 ro 9 9 6 1 45 12 6 u 0 2 O -4 3 12 5 2 15 16 i 13 10 2 30 17 1 1 -5 3 2 45 -9 9 16 9 3 0 21 7 iS 3 * Voyez dans l’instruction fur l'ufage de nos tables du tir des canons 6c obusiers, la description d’tme hausse très-commoda. DANS LE VUIDE. 6^ dans le dernier exemple, il faut, suivant la table V r une hausse entre 8 po. 2 >>. & 8 po. 8 U. ou d’environ 8 p. 2 li. 9 P °. 8 s. II nous relie à parler d’une autre méthode pour con- noitre sangle d’inclinaison d’une piece, par les différentes positions qu’elle peut avoir fur son affût; ou pour donner à une piece la position qui lui convient relativement à une inclinaison donnée. Soit A le milieu de saxe des tourillons ; c’est fur cet axe que la piece tourne pour prendre diverses inclinaisons; A C une droite parallèle à saxe du canon, terminée en C à sextrémité de la culasse; B le point le plus bas de la plate-bande de culasse ce point est toujours appuyé fur la semelle de f affût, ou sur le coin de mire; ayant mené AB & B C , on aura le triangle ABC rectangle en C, & entièrement connu par les dimensions de la piece. Si par le point A on menestá Verticale A D, & par le point B shorizontale B D, le triangle ABD sera aussi connu il suffira pour cela de mesurer la quantité A D , dont le point A est plus ou moins élevé que le point B. Connoissant donc les angles BAC, ABD sangle d’inclinaison de la piece sera égal à leur différence lorsque le point D est plus bas que le point A , fig. 20 & ii ; & à leur somme lorsqu’il est plus haut, fig. 22. Dans le premier cas, la piece est pointée au dessus de l’horizon- tale lorsque A D est plus grand que BC, fig. 20, & au dessous lorsque A D est plus petit que B C, fig. 21 , ce qui a lieu aussi quand shorizontale B D passe au dessus du point A, fig. 22. Enfin la piece est dirigée horizontalement, si AD = BC dans les fig. 20 & 21. II ne s’agit donc plus que de s’assurer, dans les différentes positions de la piece fur son affût t de la quantité Mouvement des projectiles 64 A D, dont le point A est plus ou moins élevé que le point B. Mais comme les moyens propres à se procurer cette connoissance ne peuvent qu’être embarrassms dans la pratique , nous bornerons Pusage de cette méthode à trouver la plus grande inclinaison que la piece puisse avoir sur sort affût, en supposant la ligne de terre horizontale, ou la plate-forme de niveau. Soit une piece de 24, dont les dimensions donnent AB — 48,904 pouces; BC = 6,2986 pouces, & par conséquent sangle BAC de 7 0 24'. Lorsque la culasse est appuyée sur la semelle, fig. 20, ce qui met la piece dans le cas de la plus grande inclinaison , le tracé de l’affut donne A D =16,333 pouces, & l’angle ABD de 19° 31'; donc Pangle de la plus grande inclinaison , que la piece puisse avoir sur son affût, & qui est la différence des deux angles A B D, BAC, fera de 12 0 •7'. Si’ l’affut est fur une plate-forme inclinée, dont la pente soit par exemple de 4 pouces fur 12 pieds, il en résultera un angle de 1° 35' qu’il faudra retrancher de ia° 7', .& Pon aura io° 32/ pourl’angle de la plus grande inclinaison de la piece. D u tir du canon de but en blanc. 86. Le chemin que parcourt un boulet lancé par le canon, est, comme on Pa déja dit Ép 25 , une ligne courbe dont Porigine est à la bouche du canon , & qui,-an même endroit, a l’axe de la piece pour tangente de sorte que la courbe décrite par le boulet est toute entiere au dessous du prolongement de l’axé dé la piece, & s’en écarte de plus en plus , en s’abaissant par faction de la pesanteur, à mesure que le boulet s’éloigne du canon. Cette courbe est coupée par la ligne de mire en deux points , dont l’un est DANS LE VUIDE. 6§ ordinairement trop près du canon pour qu’il íolt nécessaire de le considérer ; l’autre est plus éloigné & mérite seul notre attention. II est clair que pour une même courbe le premier de ces points se rapproche du canon , & le second s’en éloigne d’autant plus, que la ligne de mire forme un plus grand angle avec l’axe de la piece. C’est ce qu’in- dique suffisamment la stg. 19, sans qtfil soit besoin d’une plus ample explication. 87. Pointer une piece de canon de but en blanc, c’est la diriger de maniéré que la ligne de mire aille rencontrer le but que l'on veut frapper, quelque soit d’ailleurs Fin- clinaison de cette ligne à l’égard de l’axe du canon. Ls point qui détermine le but en blanc est donc Fintersection la plus éloignée de la ligne de mire & de la courbe décrite par le boulet. La distance du canon à ce point Rappelle portée de but en blanc. 88. Lorsque la ligne de mire est dans fa situation naturelle , c’est-à-dire quand elle rase la surface extérieure du canon , en passant par les points les plus élevés de la plate-bande de culasse, & du renflement de la bouche , il en résulte ce qu’on appelle but en blanc primitif ou naturel de la. piece. Celui que donne route autre position ds la ligne de mire peut être nommé but en blanc artificiel. On obtient ce dernier en faisant passer la ligne de mire sur l’un des deux points dont on vient de parler , & en le haussant au dessus de Fautre d’une quantité déterminée par l’angle qu’elle doit former avec l’axe de la piece, ou , ce qui revient au même , par Fangle que cet axessait avec la droite menée de la bouche du canon au but que l’on veut atteindre ; ces deux angles, comme on Fa vu §. 80, pouvant être censés égaux entre eux. 9 66 Mouvement des projectiles 89. Le tir du canon peut presque toujours s’exécutett parle moyen du but en blanc soit naturel, soit artificiel il est même à propos, pour la justesse du tir, d’employer cette méthode préférablement à toute autre; parce qu’elle donne toujours deux points fixes pour déterminer la position de la ligne de mire, qu’il est ensuite facile de diriger fur l’objet que l’on fe propose d’atteindre. 90. La portée du but en blanc naturel d’une piece de canon dépend , i°. de la vitesse du boulet, ou de la charge de poudre. 2 0 . De sangle que la ligne de mire forme avec Taxe du canon. 3 °. De l’inclinaifon de la piece fur shori- zon. Voyons quelle est l’instuence de chacune de ces quantités fur la portée du but en blanc. 91. Soit le canon A B fig. 23 dont Taxe A B C E forme avec l’horizontale B D un angle donné E B D ; ayant mené la ligne de mire GHCF qui rencontre Taxe de la piece au point C, la courbe décrite par le boulet aux points F &/, & l’horizontale B D au point 1 1 a droite B F menée de la bouche du canon au point d’intersection F le plus éloigné, fera la portée de but en blanc , dont il faut trouver la valeur. On emploiera à cet effet i’équation générale xx -+• ttxx = 4atx — 4 ay trouvée au §. 27, dans laquelle t est la tangente de sangle de projection EBD; a, la hauteur due à la vitesse du boulet; *, la distance horizontale B D du point F , & y la verticale F D. L’an- gle BI H est connu, puifqu’il est égal à sangle de projection EBD moins sangle de mire B C H; on connoît austi la ligne B C §. 71. , on trouvera donc BI par la résolution du triangle BCI. Faisons BI =2 k, on aura Dl ~ x-i-k; mais dans le triangle rectangle DIF, on a D F DI x tang, DIF §.4., donc en faisant tang. DANS LE VUIDE. 67 DIF = T, on aura y — T x-l-A. Mettant certe valeur de y dans l’équation ci-dessus, on aura xx - 4- tt xx = 4a tx — 4jTx — 4a"T k, d’où l’on tire a a Çr—T j/' / 4ar-T a i+tc - - V ^ 1-f-tt tttD- Le % ne- +" devant le radical donne la valeur de x correspondante au point d’intersection F le plus éloigné du canon, 6í le signe— celle de fii/qui répond au point d’intersection fie plus voisin. De la valeur de B D on conclura celle de DI, & par conséquent celle de F D = DI x rang. DIF ; on connoìtra donc la portée du but en blanc B F = j/ BD+FD- Inéquation *= vc 4 a at — T* 4a T k D i+t-?; T x-t -k, & la portée du but en blanc BF= j t—TT a- — 3 — A 2 . 2'. cas. Lorsque la ligne de mire GHCF fig. 24. est parallèle à l’horizontale B D , on aura t — tang. q ; T infiniment petit; k infiniment grand ;y = BH — /z; la valeur de BD sera x — — - f- l/ ,!—•.- 1 & la portée de but en blanc B F — Y x x -+• n n ou simplement x. 3°. cas. Si la piece est dirigée de façon fig. 24. que son axe restant au dessus de l’horizontale BD, la ligne dc 6 8 Mouvement des projectiles rnire passe au dessous de cette ligne en la coupant au point I, on aura T = tang. {q—p', k B C fia . q 7— f —-, , & y fin.{q-pf j T * — k , ce qui donne x — ií t + T -i/YìííÍH V + t +T 1 O* — 7^77 j & la portée de but en blanc B F = V **-ri-TT.r — ky. 4 e . cas. Si la direction de l’axe du canon est horizontale stg. 26. on aura t —o; T = tang. q -, k = B C , y — T x — k par conséquent x = 2 T + y'^uaTT — 4> environ. 93. La portée de but en b’anc d’une piece de canon peut encore se déterminer par une autre méthode indépendante des propriétés de la parabole nous la donnons ici parce qu’elle fera employée dans la section suivante pour la solution du même problème. Soit, comme ci-dessus, le canon ABfig. 23. incliné suivant une direction donnée BE , la ligne de mire GHCF qui rencontre en F la courbe décrite par le boulet, & par conséquent BF la portée du but en blanc. Nous pouvons supposer que cette droite & la courbe de projection terminée par les mêmes points ne diffèrent point entre elles, ou du moins assez peu pour que l’on puisse , fans erreur sensible, les représenter l’une & l’autre par la même lettre car quand même l’angle dc mire EBF seroit de 6 ou 7 degrés, la différence siír 300 toises n’i- roit tout an plus qu’à 4 ou 3 toises. Soit donc la droite ou la courbe B F = x , & u la vitesse du boulet ; le mouvement étant supposé uniforme, ~ sera le rems employé DANS LE VUIDE. 7 »' à parcourir B F ou la courbe de projection. Or ce tems doit être égal à celui que le boulet mettroit à tomber de la hauteur EF par Faction de la pesanteur , & ce dernier tems est exprimé par \/ — , dans l’hypothese de i j -pieds parcourus dans la i ere . seconde de sa chute; on a donc - = y/-—, & — = - F . Mais EF=ED-FD; ED s= BD tang. EBD ; & FD — BD rang. FBD; donc EF — BD tang. EBD — tang. FBD. On a aussi B D — B F cos. FBD; substituant ces valeurs dans l’òquation — — ~ , & mettant x à la place de BF, on aura ^ rz ^ x cos. FBD tang. EBD — tang. FBD ; d’où l’on tire x = ~ u* cos. FBD tang. EBD — tang. FBD. Quantité connue , puisque l’angle EBF peut être supposé égal à l’angle de mire HCB §. 8o , & qu’en le retranchant de sangle d’inclinailon EBD, on a sangle FBD. ^ Si la ligne de mire est horizontale , on aura l’angle EBD = HCB fig. 24. , tang. FBD = o, & cos. FBD — I ; donc dans ce cas la portée du but en blanc sera x = u 1 sang. H CB il Si la ligne de mire passe au dessous de l’horizontale BD , fig. 25 & 27 , on aura x = ^ u 1 cos. FBD tang. F B D + tang. EBD; le signe -t- pour le cas indiqué par la fig. 25 , & le signe — pour le cas de la fig. 27. Afin de comparer ces formules avec les précédentes, nous supposerons sangle de projection EBD de 8 degrés, ce qui, pour la piece de 24, donne sangle FBD de •yt Mouvement des projectiles 6° 44' 54" ; si l’on aa = i 200 , on trouvera x == 1112,y pieds, ce qui donne une portée d’environ 32 pieds plus grande que par la premiere méthode. De pareilles différences ont aussi lieu pour les autres cas ; & cela doit être ainsi , parce que c’est de la courbe B F, & non de la droite qui en joint les extrémités que l’on trouve à peu près la valeur par cette derniere méthode. Nous remettons à la section suivante à entrer dans de plus grands détails fur ce sujet. Du tir à ricochet. 94. La pratique du tir à ricochet consiste à charger & diriger une piece de canon de maniéré que le boulet paste à un pied ou deux au dessus de la crête du. parapet d’un ouvrage de fortisication , pour plonger dans la branche que l’on veut ensiler, & y détruire en roulant & bondissant tout ce qui peut se trouver sur son passage. 93. II est évident que pour produire cct effet, i°. le boulet doit avoir passé le point le plus élevé de la courbe de projection, avant d’arriver an parapet qu’il doit franchir autrement il passeroit pardessus Pouvrage dont 011 veut ruiner les défenses , & n’y causeroit aucun dommage. 2 0 . II faut que le boulet tombe à terre sous un angle très-aigu, non-seulement pour qu’il ne s’ensonce point, mais encore afin qu’en se relevant il puisse décrire une nouvelle courbe , dont l’élévation dans la plus grande partie de son étendue, ne surpasse point celle des objets que l’on se propose d’atteindre. Z°. Le ricochet sera d’au- tant plus meurtrier dans ses effets , qu’avec les conditions qu’on vient d’énoncer , le boulet aura une plus grande vitesse, ou fera capable d’une plus forte impulsion. dans le vuide. ?ï C’est d’après ces conditions que nous allons résoudre plusieurs problèmes concernant le tir à ricochet. Exposons d’abord les principaux élémens qu’il est nécessaire de considérer & d’employer dans leurs solutions. 96. Soit le canon A fig. 28 dirigé suivant la droite A Q ; AB D une ligne horizontale passant par la bouche du canon; AMCH la courbe décrite par le boulet; R le parapet d’un ouvrage de fortification dont cette courbe doit raser la crête au point C ; H un autre point où la même courbe rencontre le terre-plein du rempart représenté par l’horizontale R H. Des points C & H soient abaissées fur l’horizontale A D les perpendiculaires C B , H D ; & du point M le plus élevé de la courbe soit mené l’axe M P , lequel prolongé en Q jusqu’à la premiere direction AQ , donne P Q — 2 PM. On vient de voir que pour l’effet du ricochet , il faut que la distance A P de la batterie à Taxe de la parabole, soit moindre que A B distance de la même batterie au parapet, mais en même teins plus grande que la moitié de cette distance, & que la direction du boulet, lorsqu’il tombe au point H, fasse un angle très-aigu avec l’horizontale R H. II est aussi d’usage que la distance A B, ainsi que les deux verticales BC, D H soient connues. La trigonométrie, ou mieux encore le coup d’œil bien exercé, donnera la connoissance de AB & BC; à l’égard de la verticale D H, c’est par les profils ordinaires des ouvrages de fortification qu’on pourra la connoître, & l’on ne risquera point de se tromper de beaucoup en supposant le point H de 6 à 7 pieds moins élevé que le point C. Cela posé, faisons AP — v ; PM = y AB 22 i; BC — c; AD — d ; DH=/; la tangente de sangle 10 Mouvement des projectiles 74 de projection en A = t ; & la tangente de l’angle de chute en H = T. Les propriétés de la parabole dé- cdd-bbs . montrées aux §. §. 18 & 19 donnent, 1”. x C x x _ f X X y 2 b x — b b 2 d x — d d 5 z{cd-bfl 3°. t T x d — x, Sc en substituant la valeur de x, t T c d d — b b f c d d - 4- b b f — 2 b d f. 4 0 . D’un autre côté l'on a t =z — — — m 1 mettant cette valeur de t dans la x b d d — b b d 7 derniere proportion , on aura, 5 0 . 1 T b d d—b b d cdd - H bbs — 2 b d f. Ces équations & proportions vont nous servir à résoudre les problèmes suivans. Problème I. 97. Connoifsant lu dìflance AB de la batterie au parapet R y la hauteur B C du point C où le projectile doit pasiér au dejsus de la crête du parapet ; la hauteur D H du terre-plein du rempart fur lequel il doit tomber ; & prenant pour A P une quantité arbitraire moindre que AB & plus grande que la moitié de cette dìflance. Trouver Vangle & la force de projection , la position du point de chiite H, & Vangle de chute du boulet. Puisque l’on connoît les quantités b,c, f Six, on con- noîtra y = six —b b \ 011 allra c * onc ^ tangente de l’angle de projection par l’équation t — tl, L'équation y — j donne d — x - q- x 3/ 011 la distance A D , & par conséquent la position du point H. Con- noissant d Sc x , on trouvera la tangente T de l’angle de chiite en H, par la proportion t T x d — v, qui DANS VUIDE, 71 donne T = . X Enfin mettant les valeurs de t , b & c dans l’équation a bb i -h et 4 t b — c §• 3Î- , on aura la force de projection représentée par a, d’où l’on tirera la vitesse du projectile en multipliant par 60 , & extrayant la racine quarrée du produit. Exemple. Supposons la distance AB de 150 toises ou 900 pieds ; le point C de 27 pieds plus élevé que le niveau de la batterie ; & le point H de aï pieds au dessus du même niveau. Si l’on veut que A P soit les deux tiers de AB, on aura x — 600, donc y — 36 ; ce qui donne log. t = /. ^ = 9,079181a , qui répond à 6° 51' pour l’angle de projection. Les valeurs de * — 600 ; y =136 & /= aï étant mises dans l’équation d = x - f- x y/ , on trouve d — 987,29 ; d’où l’on tire B D ou R H — d — b — 87,29 pieds le boulet tombera donc à 14 to. 3 pi. du parapet fous un angle dont L tang. — — 8,8890756 , qui répond à 4° 25' ; angle d’incidence très-propre à faciliter le ricochet. Enfin mettons dans l’équation a rr~. ^ valeurs de b = 900 ; c z= 27 & / = 0,12, nous trouverons a=z 2536 pieds, & une vitesse de 390 pieds par seconde. 7 Mouvement des projectiles Problème 11 . 98. Connoijsant la dijlance AB, les hauteurs BC, DH, & la position dit point H trouver la dijlance A P 1îu canon à l’axe de la parabole ; les angles de projettion & de chute ; & la vîtejjpe du boulet. On connoît ici les quantités b , c , d 8 c f, on aura donc A P = x par l’équation x — ^ J par l’équation y — ^ h i — b b ' x & y étant connues , on trouvera l’angle de projection QAP par fa tangente ? & l’angle de chûte en H par fa tangente T — íSAzièè' p a vitesse du mobile fe trouve, comme ci- dessus, par l’équation a = ~^TT~ C J 5 & e ^ e ex P r *~ niée par t/ o a. Exemple. La batterie étant à la même distance de 900 pieds, si l’on fe propose de faire passer le boulet par le point C élevé de 27 pieds au dessus du niveau de la batterie, de manière qu’il aille tomber en un point H éloigné dtr parapet de 12 toiles ou 72 pieds ; la hauteur D H étant de 21 pieds ; on aura b — 900, c — 27 , d == 972 &/= 21, donc - = c J^rlìí — 578,647 pieds, & y — — 39,04. Ces valeurs donneront l’angle de projection par fa tangente t = ^ f dont le logarithme 9,13013 53 indique un angle de y° 41 L’angle de chûte fe trouve par fa tangente T — dont le logarithme répond à 14'. Enfui l’on trouve DANSLEVUIDE. 77 _ . b b l -tr t t" c fy sp par l’équation a — f t b^ 7 , & P ar 1 expression Y 60 a, qtie la vitesse cht projectile doit être de 362 pieds par seconde. Problème III. 99. Connoijfant toujours les dijlances horizontale AB 6* •verticale B C du point C où le boulet doit passer pour franchir le parapet , avec l’angle qu il doit faire a fa chute au point H , dont Vélévation D H ejl aujfi donnée trouver Vangle de projeSlìon & la vîtejfe du boulet. Les qúantités b , c , f & T étant connues, on pourra trouver la valeur de d par la proportion 1 T b d d — b b d d d d - q- b b f — 2 b d f, qui donne 1 équation TA — c dd — T b b — 2 bf'j d = b b f", divisant par TA — r, on T bb-ibf _ ' t rrr d — t b b b f . -ct d’où l’on tire d T bb- rrbf , ./r Tbb-ibf , aT b-c T V ^- 4 TA-0* t TA ì[tì-î/+/T» A *-4 f C-f 1 A b f T A — c Cette valeur de d étant mise dans l’équation x =. c -^dL —on aura celle de x, & l’on trouvera les valeurs de y , t & a comme dans les problèmes précédens. Exemple. On demande de faire passer un boulet par un point C, élevé de 60 pieds au dessus du niveau de la batterie, de maniéré qu’en tombant fur le terre-plein d’un rempart élevé de 54 pieds, l’angle de cbûte soit de 5 degrés ; la distance de la batterie au parapet étant de 200 toises ou 1200 pieds. On a ici A = 1200 ; c = 60 ; /= 54 & A T == 8,9419518 donc TA— 104,99; 78 Mouvement des projectiles T 1 b 1 = 1 1022 ; 4 f c — / = 1296 ; T b — 2/= — 3,01 , & T b — c — 44,99. Ce qui donne d = -—ì ^ 8 - 1 — 12 75 ,os ; c est-a-dire que le boulet tombera à 73 pieds ou 12 -I toises du parapet, où fa direction fera un angle de 5 degrés avec rhorizon. Mettant cette valeur de d , & celles de b , c , f dans l’é- c A A — b b f ,, , , quation x — - ~ & z.\ ;, f i on trouvera que laxe de la parabole est éloigné du canon d’environ 141 toises. Enfin l’équation t — donne log. t — 9,2358251 , & fait voir que l’angle de projection doit être de 9 0 46' ; d’où l’on conclura, en employant l’équation a — , que la vitesse du boulet doit être d’environ 390 pieds par seconde. Problème IV. 100, Connoiffant la vitesse du boulet ; la hauteur du parapet qu il doit franchir ; celle du terre-plein du rempart oh il doit tomber , & sangle que fa direílion doit faire en y tombant trouver sangle de projetíion , & à quelle diflance il faut placer la batterie. Nommant a la hauteur due à la vitesse avec laquelle le boulet part du point A pour décrire la parabole AMCH; a — /'sera la hauteur due à la vitesse avec laquelle il parcourrait la parabole HCMA dans le sens contraire en partant du point H, & comme le point A est plus bas que le point H, on aurait dans ce dernier cas l’équa- 44i+TT 4 T 4 + / 9 tion a s qui donne d = DANS LE VUIDE. 79 = T a-f i +TT •f / 4 TT i + TT* + 4 /-/ > i + T T ^ pour la distance A D. Prolongeant shorizontale HR, jusqu’à la parabole en N , on aura la double ordonnée HN, dont on trouvera la valeur par l’équation a—f= H T ^ P ar ìe troisième cas du §. 33 , en supposant toujours que le mobile part du point H fous un angle dont la tangente — T. La moitié de cette double ordonnée donnera P D = d — x , & par conséquent A P = x. Connoissant R C = c — s , on trouvera HR — d— b par l’équation a — f — d-iy i+TT 4T d-b-{t-f9 qui donne d — b »T-/ _ \/ ATT a-fy i+TT v V i+TT> — ——'ì , d’où il est facile d’avoir la valeur de b, ou de la distance de la batterie au parapet R. Enfin, l’équation t — -~ x donnera sangle de projection. Supposons, par exemple, que le projectile doit partir du point A , avec une vitesse de 400 pieds par seconde, pour passer au dessus du parapet R par un point C élevé de 60 pieds, & tomber en H fur un rempart élevé de 54 pieds fous un angle d’incidence de 5 degrés on a donc a — 2666 ; a — s= 2612 f ; c — 60 , f =. 54 ; c —6 ; — 8,9419518 & l. 1 + TT — 0,0033116. Ces valeurs étant mises dans les équations de cette solution, on trouvera d — AD = 1328,82 ; H R = 907,37 , dont la moitié 453,68 donne PD ; donc AP — A D — P D = 875,14 ; d — b = 74,73 , ou environ 12 j toises pour la distance du parapet au point de chiite H ; b = 1254,09 ou 209 toises, distance à 80 Mouvement des projectiles laquelle il fout placer la batterie. Enfin l’équation t = Tx donne A t = 9,2272751 & fait voir que l’angle de projection doit être de 9 0 . 35'. 101. Nous ne parlerons point des autres problèmes que l'on peut proposer sur le tir à ricochet , ce que nous venons de dire est plus que suffisant pour donner une idée de la maniéré de les résoudre. Nous ajouterons seulement qu’une des conditions de ce tir étant que le boulet s’éleve peu dans ses divers ricochets, cette condition fera pleinement remplie, si, en rasant la crête du parapet, le boulet va tomber sur la branche de l'ouvrage dont on veut ruiner les défenses , vers le milieu de fa longueur , c’est-à- dire si la distance du parapet au premier point de chiite H est de 23 à 30 toises car il est clair que , de cette maniéré, le boulet, avec une plus forte impulsion , se trouvera dans toute fa course au dessus de cet ouvrage à une hauteur moindre que R C, & pourra rencontrer tous les objets qui ont moins de 6 pieds d’élévation. L’angle & la force de projection propres à produire cet effet, se déterminent par le problème II. 102. Ce seroit ici le lieu d’examiner l’effet du ricochet relativement à sangle de réflexion comparé avec sangle de chute ou d’incidence, & de chercher à connoître le degré de vitesse qui reste au boulet après chaque ricochet mais outre qu’il n’en résulteroit aucun avantage pour la pratique , que nous avons principalement en vue dans cet ouvrage, un pareil examen ne peut être fondé que fur des hypothèses souvent gratuites , & toujours très-in- certaines. Le mobile est—il dur ou élastique, & quel est son degré d’élasticité? La surface réfléchissante est-elle DANS LÉ VÙIDE. 8l fleiible, élastique, & à quel degré ? Le tetréih efi-il homogène, compacte, quelle est sa ténacité & la Cohésion de ses parties? &c. &c. Toutes ces circonstances font, comme on voit, susceptibles d’itne infinité de combinaisons, qui peuvent fiure varier à l’infini sangle & la vitesse de réflexion. S’il est difficile de rencontrer juste eh hé voulant considérer qu’Un seul tas ; il n’est pas moins inutile de les examiner tous* Contentons-houá donc d’observet que, pour faciliter le ricochet j il faut que sangle d’inci- dencé dû boulet soit très-aigu , & ne passe point 8 à 10 degrés ; qué cét ánglè est d’aurant plus aigu j quelque soit d’ailleurs sanglé dé projection , qué le point de chute est plus près du point culminant, ou sommet de la courbe décrite par lé boulet; & qtsen général la différence entré sangle de projection & sangle de chiite j augmente à mesure que lè point dé chûte est plus élevé au dessus dti niveau de la batterie de forte, que, quand on est dans lé cas de choisir la position de l’áxe de la parabole, comme dans le problème I, il lé rapprocher d’autant plus du parapet que le boulet doit franchir, que ce parapet est plus élevé. L’ordre des matières que nous nous étions proposé de suivre ait §. 49, exigeròit que son fît ici mention du tir du fusil mais comme On rie po'urròit que répéter en grande partie ce qui a été dit fur le tir du canon, nous remettrons a la séctiori suivante à traiter plus particulièrement ce qui concerne cette troisième armé. 103. La résistance de l’air dans lequel les projectiles se meuvent, est un obstacle que nous n’avoris point considéré' jusqu’à présent, & qui produit des changemëns considérables aux résultats de la théorie que nous venons d’ex- n ga Mouvement des projectiles, &c poser. Un corps qui se meut dans l’air, quand même la pesanteur n’agiroit point sur lui, ne parcourrait point d’un mouvement uniforme la ligne droite suivant laquelle il est projette; parce que l’air lui oppose une résistance qui détruit à chaque instant une partie de sa vitesse. Et par la même raison le mouvement uniformément accéléré, qui résulte de la pesanteur, reçoit aussi quelques altérations. Donc i°, la coiube de projection n’est point une parabole ; cette courbe ne pouvant être décrite qu’en vertu du mouvement uniforme d’une part, combiné de l’autre avec le mouvement uniformément accéléré. 2°. L’angle & la force de projection étant donnés, l’amplitude ou portée horizontale est toujours moindre que celle qui résulte des équations trouvées ci-dessus, 3°. Le point le plus élevé de la courbe décrite par le projectile, ne répond point au milieu de l’amplitude horizontale, il est plus près du point de chute que du point de projection. 4 0 . L’angle de chiite, à l’extrémité de la portée horizontale, est plus grand que sangle de projection. 3°. L’angle qui donne la plus grande amplitude, est moindre que l’angle de 45 degrés , & en diffère d’autant plus , que le projectile est lancé avec une plus grande vitesse. 6°. Les deux angles fous lesquels un mobile peut atteindre le même but situé au niveau de la batterie, ne sont point complémens l’un de l’autre; le plus grand différé moins de 43 degrés que le plus petit. 7°. Enfin, & en général les différences dont nous venons de parler, & qui sont occasionnées par la résistance de l’air, deviennent d’autant -plus. considérables, que le projectile a plus de vitesse, Sc que fa surface .est..plus grande eu égard à fa masse. C’est ce que nous allons examiner dans la section suivante. S E C T I O N I I. Du mouvement des projeBìles dans l'air. 104. XJ N corps qui se ment dans un fluide, y éprouve une résistance qui tend à ralentir son mouvement. Cette résistance vient principalement de ce que tout corps en mouvement ne peut en rencontrer un autre, fans que fa vitesse soit diminuée ou totalement détruite. C’est une suite de ce principe de méchanique , qu’il n’y a point d’aétion sans une réaction égale & directement opposée ; & de cette propriété qu’ont les corps de résister , à raison de leur masse, à tout changément d’état. Or un corps qui se meut dans l’air, 011 dans tout autre fluide, rencontre continuellement de nouvelles particules, qu’il est obligé de déplacer pour traverser le fluide. Ces particules, par leur inertie, qui est commune à toutes les parties de la matière , résistent à leur déplacement, & ne prennent de mouvement qu’en ralentissant celui du mobile, & en lui faisant perdre à chaque instant une partie de sa vitesse. Tel est en général l’esset de la résistance que les fluides opposent aux corps qui s’y meuvent. Mais quelle est cette partie de la vitesse que le mobile perd à chaque instant ? A-r-elle un rapport constant avec sa vitesse actuelle ? Quel est ce rapport ? Ce seroit peu connoître la nature des fluides, ou plutôt ce seroit prétendre en avoir une connoissance qu’il est impossible d’acquérir, que de vouloir répondre à ces questions par une réglé générale. En effet, plusieurs circonstances tant de la part du corps en mouvement, que de celle du fluide dans lequel il se £4 Mouvement des projectiles ment, concourent à varier les effets de cette résistance de la part du mobile , c’est sur-tout son degré de vitesse, la configuration de sa partie antérieure & sa pesanteur spécifique. Dç la part du fluide , c’est sa densité, son élasticité ; sa ténacité ou cohérence mutuelle de ses patries ; & leur frottement contre la surface du mobile 6; entre elles. 105. A ne considérer toutes ces causes que dans la plus grande généralité des effets qu’elles peuvent produire , les premieres notions de la Physique suffisent pour se convaincre que, toutes choses égales d’ailleurs, ï°. la résistance d’un fluide augmente avec la vitesse du mobile. 2°. La résistance contre un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, est plus grande que si ce plan se présentoir obliquement à la même direction. 3°. La résistance d’un fluide est d'autant plus grande , qu’il a plus de densité relativement à celle du mobile. 4°. La ténacité du fluide , ou cohérence mutuelle de ses particules , & leur frottement contre la surface du mobile & entre elles , contribuent aufisi à augmenter la résistance , à cause de la difficulté que le mobile éprouve à séparer les parties du fluide pour s’y faire un passage difficulté qu’il ne peut vaincre qu’aux dépens d une partie de fa vitesse. Mais ces deux dernieres causes n'ont un effet sensible que dans les fluides gélatineux , & l’on peut fans erreur n’y avoir aucun égard ; sur-tout quand U s’agit d’un mouvement rapide & d’un fluide très—délié , tel que celui qui compose notre atmosphère, & que nous avons ici principalement en vue, 106. Pour être en état d’apprécier les réglés que. 1 ? théorie prescrit dans la détermination des effets que nou> DANS Ï-’AIR. Ï venons d 'énoncer , il est à propos de donner une atten-! tion particulière à ce qui se passe dans un fluide, à la rencontre de ses particules par un corps solide qui s’y meut on voit d’abqrd que si ce corps est terminé antérieurement par un plan perpendiculaire à la direction du mouvement ; chaque particule rencontrée par le mobile est n cessairement poussée en avant, & seroit entraînée suivant cette même direction, s’il ne se présentoir pas successivement d’autres particules qui obligent les premières à se détourner , à se porter dans tous les sens vers les bords du plan, & de là refluer vers la partie postérieure du mobile. II arrive mçme que la plupart de ces particules, avant que le mobile ait pu les atteindre & les choquer immédiatement, font forcées de se déplacer, & ne participent à l’impulsion du plan choquant que par le moyen d’autres molécules intermédiaires qui en modifient les effets. De là naît une variété Sc une complication de mouvemens que l’esprit entrevoit, mais que le calcul ne peut ni saisir ni assujettir à ses loix. 107. Si le mobile est terminé en avant par un plan oblique à la direction du mouvement, il semble au premier coup d’œil qu’il devroit avoir moins de peine à surmonter les obstacles qu’il rencontre fur son chemin ; que les par- ticules du fluide céderont plus facilement à son impulsion ; se gêneront moins dans les divers mouvemens qu’elles seront obligées de prendre; gagneront avec plus de facilité les bords du plan choquant pour se porter en arriéra du mobile, 8c que, s’accumulant moins en avant, elle; feront moins d’effort pour en retarder le mouvement, & d’ moins que l’obliquité du plan seroit plus grande. Mais il. sc présente ici une circonstance plus propre à aug- L6 Mouvement des projectiles menter la résistance qu’à la diminuer c’est que la facilité que les particules du fluide ont à s’échapper d'un côté du plan oblique, est compensée parla difficultéqu’elles trouvent à refluer de l’autre. II est clair en effet que si le plan AB fig. 29. se meut suivant la direction C D, les particules du fluide qu’il rencontre étant déterminées à s’é- carter en tous sens de la direction C D, tandis que les particules qui font portées du côté de B s’échappcnt plus facilement, celles qui vont du côté de A font beaucoup plus gênées dans leurs mouvemens , elles y sont comme refoulées, s’y accumulent davantage, & opposent en cet endroit une résistance plus grande que si le plan AB étoit perpendiculaire à la direction C D du mouvement; résistance qui doit augmenter avec l’inclinaison du plan. On voit donc qu’il s’en faut de beaucoup que la résistance du fluide contre le mouvement d’un plan oblique soit égale & uniforme sur toute l’étendue de ce plan elle est plus grande dans sangle aigu que le plan forme avec la direction du mouvement, que dans sangle obtus , avec une différence qui dépend de la vitesse du plan , de fa grandeur , de son inclinaison & de la nature du fluide. 108. Lorsque la surface antérieure du mobile est courbe, il est clair que seffort de la résistance du fluide s’exerce contre une infinité de plans diversement inclinés on peut donc appliquer à chacun d’eux ce que l’on vient de dire dans l’article précédent. Mais on voit en même tems que les particules du fluide rencontrées par un quelconque de ces petits plans, doivent être moins gênées par les particules exposées au choc des plans circonvoisins; parce que celles-ci, à raison d’une obliquité différente, s’échap- pent plus facilement à l’impulsion du fluide; d’où il résulte dans l’air. 87 sur la totalité de la surface courbe une résistance moindre que si elle étoit plane. De là doivent naître aussi tous les effets mentionnés ci-deffus, combinés à l’infini & modifiés selon les différentes inclinaisons des petits plans qui composent la surface courbe du mobile. Ces modifications, quoiqu’indispensables à connoître, n’étant point d’une nature à pouvoir être suffisamment appréciées & soumises au calcul, on ne peut avoir fur la résistance des fluides que des théories imparfaites. L’expérience le prouve, & il est facile d’en rendre raison en appliquant aux loix prescrites par la théorie ordinaire, les différentes remarques que nous venons de faire. 109. La premiere de ces loix est que, toutes choses d’ailleurs égales, la réfiflance d'un fluide contre des plans de différentes grandeurs perpendiculaires à la direBion flu mouvement , efi proportionnelle à l’étendue de ces plans. Ce principe fondé uniquement fur ce que la résistance est proportionnelle au nombre des particules frappées en même tems , est évidemment faux car, outre le nombre des particules , il est clair que la difficulté qu’elles trouvent à se détourner & se porter vers les bords du plan, doit augmenter avec l’étendue de ce plan, & rendre la résistance plus grande que ne le comporte le rapport de la grandeur des plans. Pour que ce rapport pût avoir lieu, il faudroit que les particules du fluide, à mesure qu’elles font frappées par le plan choquant, fussent tout-à-coup anéanties, ou subitement jetées hors de l’étendue du plan, asm qu’elles ne pussent ni empêcher ni modifier l’effet de l’impulsion de ce pian fur les particules suivantes & la réaction de celles-ci. Une pareille hypothèse n’étant point admissible , la résistance d’un fluide contre des plans de différentes 88 Mouvement des projectiles grandeurs ne peut être proportionnelle à l’étendue de ce's plans; elle augmente nécessairement dans un plus grand rapport que les plans, & il est à observer que cette augmentation dépend de la vitesse dii plan choquant * & de la nature du fluide ; qiselle est moindre dans un fluide rare & élastique, & qu’elle diminue avec la vitesse du plan* no. La seconde loi de la résistance des fluides est que, contre des plans différemment inclinés j la réjìflance ejl pro - portionnelle áu quàrré des finus dés angles dinclinaison. Cette loi suppose, comme la premiere, què la résistance est égale & uniforme sur toute l’étendue du plan choquant* & ne dépend que du nombre des particules qu’il rencontre dans le même rems or nous avons Vu aux §§. 104 & 105 , que les choses ne se passent point ainsi dans le choc soit direct, soit oblique ce choc excite dans le fluide une infinité de mouvemens qui se gênent mutuellement, s’al- terent, se modifient Sc rendent par conséquent la loi de résistance contre les plans obliques beaucoup plus compliquée que n’est la raison doublée des sinus des angles d’inclinaison. Suivant ce rapport* la résistance des fluides devroit diminuer avec l’angle d’inclinaison ; Pexpérience fait voir le contraire, & il est facile de le conclure de ce qui a été dit au §. 105. m. La résistance d’un fluide contre Une surface courbe se calcule ordinairement d’après les propriétés de la courbe indiquées par son équation , & sur le principe d’iíne résistance proportionnelle au quafré des sinus des angles d’inclinaison. Le mdindre défaut de cette méthode est de donner la même résistance pour une surface concave que pour une surface convexe de même courbure ; ce qui est contre toute vraisemblance, Mais il scroit facile d’éviter DANS l’ 89 ce défaut, en n’appliquant la méthode qu’à des surfaces convexes, si elle n’étoit d’ailleurs fondée fur un principe erroné, celui de la résistance en raison doublée des sinus des angles d’inclinaifon, dont nous venons de faire voir la fausseté. 112. Une autre loi de la résistance des fluides, celle qu’il nous importe le plus de bien connoître, concerne le rapport des résistances du même fluide contre le même mobile qui s’y meut avec difíérens degrés de vitesse ce rapport est, dit-011 , celui des quartés des vitesses c’est- à-dire qu a une vitesse double, triple , quadruple, &c. le fluide oppose une résistance quatre fois, neuf fois, seize fois plus grande. Voici la raison qu’on en donne la résistance est proportionnelle au nombre des particules déplacées dans le même tems, & ce nombre est comme l’efpace parcouru pendant ce tems, c’est-à-dire comme la vitesse. De plus, elle est proportionnelle à la force avec laquelle chaque particule est frappée ; Sí cette force est aussi comme la vitesse du mobile ; donc la résistance est en raison doublée, ou comme le quarté de la vitesse. Quoique dans ce raisonnement on fasse abstraction des principales circonstances énoncées au §. 103 , il est cependant à présumer que , s’agissant ici du même mobile, de la même surface choquante, du même fluide, & n’y ayant de différence que dans la vitesse , il est, dis-je, à présumer que cette loi s’écarte moins de la vérité que les précédentes. Si elle peche en quelque point, c’est qu’en l’employant pour comparer les effets de la résistance contre des vitesses trop différentes entre elles , contre la vitesse d’un mouvement très-lent, & celle d’un mouvement trés- rapide, on trouveroit pour le mouvement rapide une 12 Mouvement des projectiles 9 ° résistance trop foible, si on la déduisoit par cette réglé de la résistance que le fluide oppose à un mouvement lent. Au reste , tout cela dépend de la nature du fluide r s’il est élastique , le principe en question donnera des résultats sautant plus approchans de la vérité, que Félasticité fera plus grande car c’est en vertu du degré d’élasticité dont le fluide est doué, que ses particules se remettent plus ou moins promptement dans l’équilibre rompu par le choc, & qu’elles refluent plus ou moins, facilement en arriéré du mobile. II est vrai que cette même propriété rendant le fluide compressible , il peut arriver que le mouvement soit assez rapide , la vitesse du mobile assez grande, pour accumuler les particules du fluide fur fa partie antérieure, avant qu’elles puissent se détourner., augmenter ainsi la densité du fluide & par conséquent sa résistance. La vitesse du mouvement peut même être telle que le fluide ne puisse point remplir dans le même instant l’es- pace que le mobile vient d’abandonner il est clair qu’a- lors, si le fluide est de l’air, outre l’augmentation de résistance occasionnée par une plus grande densité, le corps aura encore toute la pression de l’atmosphere à soutenir. La moindre vitesse nécessaire à cet effet est due à une hauteur de 850 fois 32 pieds, ou est de 1282 pieds par seconde, en supposant la pression de l’atmosphere équivalente au poids d’une colonne d’eau de 32 pieds de hauteur , & seau 850 fois plus dense que l’air. Cette vitesse de 1282 pieds par seconde est celle avec laquelle sair , en vertu de son élasticité, ou de la pression de l’atmosphere, pénétré dans un espace vuide ; ainsi dès que la vitesse du mobile excede 1282 pieds par seconde, ]a pression de l’atmosphere. concourt avec la résistance DAVS l’AIR; 9 1 pour ralentir fort mouvement ; & l’on volt fans peine que dans le cas d’une vitesse moindre , le mobile n’a plus qu’une partie de cette preffion à surmonter cette quantité, qui doit s’estimer fur la différence entre la densité du fluide en avant & en arriéré du mobile, difparoît enfin lorsque la densité du fluide est uniforme autour du corps ; ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas d’un mouvement lent, ou lorsque l’élasticité du fluide est assez grande pour que l’équilibre rompu par le choc soit aussi-tôt rétabli entre les particules du fluide. C’est dans ce dernier cas seulement que l’on peut strictement admettre la loi de la résistance proportionnelle aux quartes des vitesses. En tout autre la densité du fluide en avant du mobile variant avec la vitesse , c’est comme si le corps traverfoit successivement des milieux différemment denses , dont la densité diminue- roit par gradation à mesure que le mouvement se ralentit or il est clair que cette supposition exclut celle d’une densité uniforme , sur laquelle est fondée la réglé d’une résistance proportionnelle aux quartes des vitesses, &c. Nous ne nous arrêterons pas davantage fur cette matière, dont un examen plus approfondi ne feroit découvrir que de nouvelles difficultés. Contentons-nous d’obferver que pour établir fur la résistance des fluides une théorie complette & satisfaisante, il est indispensable de mettre en considération toutes les circonstances énoncées dans les articles précé- dens , seul moyen d’obtenir une loi générale d’oìt l’on puisse déduire tous les cas particuliers ; & une formule de résistance applicable à tous les degrés de vitesse du mobile , à tous les degrés de densité & d’élasticité du fluide. Si à cette propriété la formule joint celle d’un calcul peu compliqué & d’une facile application à la pratique , la théo- 9 1 Mouvement des projectiles rie aura toute la perfection que l’on peut defirer. En attendant qu’une main habile remplisse notre attente à cet égard , nous nous en tiendrons à la théorie de Newton suffisante dans bien des circonstances , il ne fera peut-être pas impossible , avec certaines modifications , de l’adapter su mouvement rapide des projectiles lancés par les bouches à feu. Nous allons Fexpofer le plus brièvement que faire se pourra. Théorie de la rijìjlance des jhádcs. ï13. Si un cylindre fe meut uniformément suivant la direction de son axe dans un fluide de même densité que la sienne, & dont les particules ne puissent être poussées qu’en avant dans la même direction, de maniéré qu’en íems égaux il déplace des quantités égales d u fluide, & leur communique le degré de vitesse dont il est actuellement animé ; il est évident qu’après avoir parcouru un espace égal à la longueur de son axe, ce cylindre aura déplacé une masse de fluide égale à la sienne ; il lui aura communiqué successivement toute fa vitesse, & aura par conséquent perdu tout son mouvement. Donc la résistance du fluide est, dans ce cas , équivalente à une force capable de détruire le mouvement du cylindre , ou de le produire , dans le tems qu’il parcourrait uniformément la longueur de son axe. L’effet de cette résistance est le même que celui d’une force qui, agissant contre le cylindre dans une direction contraire à celle de son mouvement, détruirait en tems égaux des parties égales de fa vitesse ; c’est une force analogue à la gravité agissmt contre un corps lancé verticalement de bas en haut. 114. Ce cas aurait lieu pour un fluide renfenné dans DANS L’AIR; 9 ? tin canal, où ses particules poussées par le cylindre en mouvement, ne pourroient s’écarter d’aucun côté de fa direction. Mais si le fluide est indéfiniment étendu ou libre de tous côtés, ses particules poussées par le cylindre se mouvront en tous sens, & n’opposeront plus qu’une résistance moitié de la précédente ; c’est-à-dire qu’alors la résistance est égale à une force capable d’engendrer , ou de détruire le mouvement du cylindre dans le teins qu’il parcourroit uniformément deux fois la longueur de son axe. n5. Pour se convaincre de la vérité de ce principe, imaginons une demi-sphere formée par la révolution du quart de cercle CAB fig. 30. autour du rayon CB, que nous supposerons être la direction & la vitesse du Cylindre. Soit C M la direction & la vitesse dune particule du fluide au premier instant de son mouvement cette vitesse pourra se décomposer en deux autres C P & P M , Tune perpendiculaire & l’autre parallèle au mouvement du cylindre ; la premiere ne s’opposant point à ce mouvement, la résistance de la particule dirigée suivant C M ne sera exprimée que par P M. Donc la résistance du fluide, lorsque ses particules font toutes poussées en avant suivant la direction d u cylindre , est à sa résistance lorsque les particules ont la liberté de se mouvoir en tous sens , comme la somme des rayons menés à tous les points de la surface de la demi-sphere , est à la somme des sinus eorrespondans aux mêmes points. Si l’on nomme donc le rayon CB, Í I2P - 0 0 / 10 r 8 “ " 6 3627,7 3302,0 3,8943495 3,8730724 3,6895663 3,6883810 Balles. 0,05092 9755, 1 3,0429601 6,5948242 Avec le secours de cette table on calculera facilement les formules trouvées par la solution des quatres problèmes précédens , en fe rappellant que m est un nombre dont le logarithme est - x 0,43429448. Calcul de la formule u e= 134. Soit un boulet de 24, chaste avec une vîtestè initiale de 1200 pieds par seconde ; pour trouver la vitesse qui lui reste après avoir parcouru 150 toises ou 900 pieds, on fera le calcul suivant. 14 106 Mouvement des projectiles l\ x 0,43429448 3,8495323 l x = 900 . . 2,9542425 x 0,43429448 8,8037748 dont le nombre ou Im . . . 0,0636465 à ôter de /V — 1200 3,0791812 reste lu . . . 3,0155347 — / 1036,415. Donc su bout de 902 pieds, ou 150 toiles, la vitesse! du boulet n’est plus que d’envìron 1036 pieds. Calcul dc la formule V — mu, 135. Si un boulet de 24 arrivé à un but éloigné de 150 toises, ou 900 pieds, a besoin d’une vitesse de 1036 pieds pour produire son effet, on trouvera sa vitesse initiale , ou la vitesse avec laquelle il doit sortir du canon, par le calcul suivant. Puisque x — 900, on a comme dans l’exertìple précédent l m . . . 0,0636465 ajoutez lu . 3,0153598 IV . 3,0790063 —l 1199,52. C’est ' donc avec une vitesse d’environ 1200 pieds par seconde que le boulet doit être chassé, pour qu’à la distance de 150 toises fa vitesse restante soit de 1036 pieds. Calcul de la formule t — ~ m — 1. 136. Le même boulet étant chassé avec la même Vitesse initiale, on trouvera le tems qu’il met à parcourir un espace de 900 pieds, par le calcul suivant. DANS l’AIR , 87 - On aurá Comme dans l’exemple précédent Im . . . . 0,0636465 dont le nombre ess m .... 1,157835 donc m — 1 . 0,157835 lm — 1 9,1982034 , lc . . . . . 3,7882520 comp. IV,... 6,9208188 11 . . . . 9,9072742 = 1 0, "808. Ce boulet met donc environ de seconde à parcourir 150 toises. Calcul de la formule V z=z í m — 1 , 137. Pour connoître la vitesse initiale d’un boulet de 16 , sachant qu’il a parcouru 215 toises ou 1290 pieds en 1 \ seconde, on fera l’opération suivante 1 7 x 0,43429448 5,907-521-5 l x— 1290 .". 3,1105897 s* X 0,4342, Lee. 9,0181112 dont le nombre ' "ou l m .... 0,1042584 donc ?h .... 1,27133 - - m — 1 . . 0,27133 -l 9 - 433497 8 . . . 3,7302628 9,9030900 /V"”.'."r3,0668506 ~ /1166,4. Donc un ííoiilet de 16 doit 'êire chassé avec une vitesse initiale de 1166 pieds par féconde, pour qu’en 1 ~ sec, il parcoure 215 toises. - ' ' ,ïó8 Mouvement des projectiles Calcul dè la formule m — ^ - 4 - t;8. Pour connoître . boulet de, 16 parcourt en — de , étant chassé avec une vitesse initiale de 1200 pieds par seconde. f V = 1200.3, ^^-o, 73 ..... 9,873061,; , c X í íë* -F- 6 c ? &c. donc ——hL -F -3 ; on peut négliger les termes fuivans, parce que les puissances de c font dans chaque terme plus grandes que celles de x , & que dans le cas présent, où il s’agit de boulets de fer, les puissances de c croissent suivant un bien plus grand rapport que celles de x. On a donc ——— ou . Y . tan &~ 1 X - V % tang. I >-F- r~ , donc x 3 - f -ex ee ; équation qui renferme tout ce qui est nécessaire de considérer dans la pratique du tir de but en blanc. 141. Quoique cette équation foi t tirée de celle-ci j/” - = — ot — 1 , dans le premier membre de laquelle x représente la distance horizontale B D, tandis DANS t’AÎR. III que dans le second la même lettre est prise pour là courbe B/F décrite par le boulet ; il n’est pas à craindre que de cette même dénomination de deux quantités différentes il puisse résulter aucune erreur sensible ; parce que, comme on l’a déjà observé, la différence entre ces quantités est si petite , qu’on peut les regarder comme étant égales, fur-, tout dans la pratique, où l'on est toujours exposé à rencontrer des différences beaucoup plus considérables. 142.. Nous venons de supposer que la ligne de mire est parallèle à-Fhorizon ; si elle étoit inclinée , comme dans la figure 23 , la verticale EF dont le boulet tomberoit dans lé même tems qu’il est transporté de B en F, seroit égale à ED - FD = BD tang. EBD - BD tang. FBD §. 5 , & à cáuse de B D = B F cos. F B D = x cos. FBD, on auroit EF — x cos. FBD tang. EBD — tang. FBD ; le tems de la chûte par EF seroit donc = j/*^ COS. FBD tang. EBD - tang. FBD ; où l’on volt que ce cas ne diffère du précédent qu’en ce qu’au lieu de tang. I on a cos. FBD tang. EBD — tang. FBD mais nous observerons que cette derniere quantité ne diffère que très-peu de tang. I, l’angle I étant l’excès de EB D fur F B D ; ce crue cette expression indique assez par elle-même, & qu’il est aisé de vérifier par le calcul. O11 pourra donc , dans tous les cas de pratique, se servir de l’équation xx *+• ex * , à laquelle nous nous en tiendrons avec d’autant plus de confiance, qu’il est prouvé par l’expérience, qu’elle est suffisamment exacte ; d’ailleurs elle dispense de connoître Finclinaison de la picce à l’égard de l’horizon, ce qui est un avantage précieux dans une infinité de circonstances. n2 Mouvement des projectiles 143. Ce qu’il y a donc d’essentiel à considérer dans le tir du but en blanc, c’est, 1". la vitesse initiale du projectile ; 2°. l’angle de mire, ou l’angle que la ligne de mire fait avec Taxe de la piece ; 3°. l’éloignement de l’objet qu’on veut frapper en tirant de but en blanc ; à quoi l’on peut ajouter, 4 0 . la hausse qu’il faut employer pour fe procurer l’angle de mire donné ou trouvé. Deux des trois premieres quantités étant connues, on trouvera la troisième par le moyen de l’équation x x - 4 -ex — c y i -, de laquelle on tire, 144. i°. La valeur de V — +*. 145. 2 0 . La valeur de tang. I = ^ss "d- 146. 3°. La valeur de * = c Jj/"+ 7 — ij. 147. A l’égard de la hausse , on la trouvera par la table Y , ou par la formule tang. I x L — ra — n , dans laquelle les lettres l, m , n représentent les mêmes quantités qu’à l’article 70, & dont les valeurs font comprises dans la table I. Si cette formule de la hausse don- noit un résultat négatif, ce qui arrivera toutes les fois que l’angle de mire fous lequel on doit tirer, est moindre que l’angle de mire naturel du canon , tel qu’on le trouve pour chaque calibre dans la table I ; il faudroit baisser la ligne de mire du côté de la culasse, ou la hausser au dessus du bourlet mais comme l’un est impossible & l’autre souvent impraticable, on dirigera dans ce cas la ligne de mire naturelle de la piece, au dessous de l’objet que le boulet doit frapper, d’une quantité quatrième proportionnelle à la longueur /, à la hausse trouvée, & à la distance de l’objet; c’est-à-dire d’une quantité íx DANS l’AlR. í~, en nommant la hausse troiívé’e h, St d la distance dû but. Les exemples fuivans pourront servir à faciliter l’usage des formules que l’on vient de trouver. 148. Calcul de la formule V nz - -4- x~J m Exemple I. Supposant un but éloigné de 3 60 toises ou n60 pieds, que l’on veut atteindre en tirant de but en blanc J avec une piece de 24, & fous sangle de mire naturel de cette piece, qui est de i° 15' 6"; on trouvera la vitesse initiale avec laquelle ce boulet doit être chassé ^ par le calcul suivant. I x x .6,6689076 comp. / c .6,2117480 ^ — ....... 2,8806350 dont le nombre est T = 759,72 ajoutez x z=. 2160 x x .+.*= 2919,72 - 3,46534 1 15, comp. Itang. 6,3048829 IV .. . 3,1524414 = l 1420,5 Donc le boulet de 24 doit avoir une vitesse initiale dé 1420 pieds par seconde , pour que la portée du but en blanc naturel de la piece de ce calibre soit de 360 toises. Exemple II. La même piece devant être tirée de but en **4 Mouvement des projectiles blanc à la même distance, sous un angle de mire de deux degrés , on aura la vitesse initiale du boulet, & la hausse , de la maniéré suivante on a comme ci-dessus. i t -4- * * 3,465341* l M, 1 .1-1789769 cpmp. I tang. I . . . . 1,4569162 6,1012343 / V . . . 3,0506171 =r l Calcul de la haujse. I tang. 2° . . 8,5430838 ; 1 1 —' 117,63 2,0705181 0,613601 9 dont le nombre = 4-, 1077 - ôtez-en m — n=c 2,57 reste de la hausser 1,5377= 1 po 6>>' 6pt; Ainsi pour remplir l’objet de cet exemple, il faut que le boulet ait une vitesse initiale de 1x24 pieds par seconde , & qu’on emploie une hausse de 1 po. 6 li. 6 pt. 149. Calcul de tang. I = lld. f % x v* L - Exemple I. On demande sous qiiel , angle de mire il fâut tirer une piece de 16 placée á 322 toises , ou 1932 pieds d’un but que l’on veut frapper en tirant de but en blanc ; le boulet .ayant une vitesse initiale de 1412 pieds par seconde. kíANS LE VUIDEl jiÇ 1 ì x x ... 6,5720142 Comp. Ic .6,2697372 ' l~... 2,84175x4 dont le nombre est f 7 = . 694,63 ajoutez x = . . . 1932 — -4- x r= 2626,63 1 j7 "*** 3,4i939 88 / 15,1. . . 1,1789769 comp. / V 1 . . . 3,7003306 l tang. I . 8,2987063 =2 l tang. i° 8' 20". Or cet angle est précisément sangle de mire naturel de la piece de 16, donc 322 toises est la portée du but en blanc naturel de cette piece, lorsque la vitesse-initiale du boulet est de 1412 pieds. Exemple II. On demande fous quel angle de mire il faut tirer une piece de 16 , pour atteindre dé but en blanc un objet éloigné de 200 toises ou 1200 pieds, la vitesse initiale du boulet étant, de 530 pieds par. seconde, faites le calcul suivant l xx . . . 6,1583625 comp. I c .... . 6,2697372 l — ajoutez x = 2,4280997 dont le nombre est 267,98 1200 ~ + a = 1467,98 ïi6 Mouvement des projectiles l 3,166720a l 15,1 .... 1,1789769 comp. / V 2 .... 4,5514482 l tang. I . . 8,8971453 == /lang. 4 30' 43" 1 1 — 111 , 1 % 2,0537697 l tang. I x / 0,9509150 dont le nombre est - 8,9313 po. ôtez m — n— 2,25 reste la hausse — 6,6813 = 6 po. 8 11. 2 pt. L’angle de mire doit donc être de 4° 30' 43", & la hausse de 6 po. 8 li. 2 pt. Exemple III. Si l’éloignement du but est de 250 toises ou 1500 pieds, & la vitesse initiale du boulet de 1325 pieds par seconde, on aura sangle de mire pour une piece de 16, par le calcul suivant. I xx .6,3521825 comp. I c .6,2697372 l x -^- .. 2,6219197 dont le nombre est XX O ' — 418,71 ajoutez x = 2. 1500 -+•*=. 1918,71 X X DANS 1E VUIDE. 1 i 7 1 fT + * • 3 > 1 ' 3 00 94 / 15,1...... 1,1789769 comp. / V 2 ...... 3,7333682 l tang. I . . . . 8,2175343 =/tang. o° 56'44" l /= 113,18 2,0537697 / tang. I x / 0,2713242 dont le nombre est 1,868 po, ôtez m — n = 2,25 reste la hausse négative — 0,382 = — o po. 4 li. 7 pt. C’est-à-dire que pour tirer dans ce cas de but en blanc, il faudroit mettre fur le bourlet de la bouche du canon une hausse de 4 li. 7 pt. ou bien employer la ligne de mire naturelle de la piece, & la diriger au dessous du Eut d’une quantité = -j* §. 143 , stue l’on trouve être d’environ 5 pieds. 150. Calcul de la formule x c V 2 tanç. I 15,1 c Exemple I. Pour connoître la portée du but en blanc naturel d’une piece de 24, lorsque la vitesse initiale du boulet est de 1420 pieds par seconde, on fera le calcul suivant / V 2 .6,3045766 / »ng. comp. / 15, comp. / c. 6,2117480 l — 7—7— - . . 9,6767829 dont le nombre Mouvement des ì>ro/£ctile5 0,35152 dont le log; 9,54595°° 3,7882520 3,3342020 = l 2158,8 pi. La portée de but en blanc est donc , dans ce cas , de 2158,8 pieds , 011 d’environ 360 toises. Exemple II. Pour trouver la distance à laquelle on doit placer une piece de 16 pour tirer de but en blanc avec une hausse de 8 lignes, la vitesse initiale du boulet étant de 1412 pieds par seconde, on cherchera d’abord sangle de mire qui résulte de la hausse de 8 lignes ; or puisque §. 81 h-xiL tang. I x l — m — n , on aura tang. I rr dans ce cas 2,9166 113,18* On fera doric le calcul suivant / 2, comp. I 113, l tang. l V 2 .6,2996694 comp. I 15, comp. I c .6,2697372 £ V 2 tang. I I5>i c 9,8015468 dont le nombre DANS X-’AIR. II 9 est . . 0,63321 ajoutez ; — . . . 0,25 0,88321 dont le log. . . . 9,9460640 la moitié donne 9,97^0320 dont le nombre est’ . . 0,9398 ôtez-en 0,5 dont le log. I c ..... reste ; . 0,4398 og. . . . 9,6432332 .3,7302628 l X 3 , 3733 î 8 ° — l 2363.' C’est donc à la distance de 2363 pieds, ou d’environí 394 toises qu’il faut ainsi tirer la piece de 16. 151. Les formules dont nous venons de détailler les calculs etant le fondement de la pratique du tir du canon, nous n’avons pas craint d’en multiplier les exemples, l’ufage n’en pouvant être rendu trop familier. Tous les cas y font présentés ; & si nous n’avons point parlé de la situation du but relativement au niveau de la batterie, c’est que cette circonstance est tóut-à-fait inutile à considérer dans le tir de but en blanc. II importe peu que l’objet qu’on fe propose de frapper, ou le point par lequel on veut faire passer le boulet, soit au dessus 011 au dessous de ce niveau ; que la piece soit inclinée ou non à Fhorizon cela ne change rien à l’effet du tir de but en blanc. L’unique objet de cette manière de tirer est de diriger la ligne de mire naturelle ou artificielle de la piece ' fur le point que le boulet doit frapper, & dont il suffit Mouvement des projectiles de connoître la distance, sans s’embarrasser de fa situation à l’égard cle l’horizon. 15 a. Pour n’avoir aucun doute à ce sujet, reprenons l’exemple II du calcul de la formule tang. I 22= l -~ -+-x^ , 8c ajoufons-y la condition que le but F fig. 23 soit élevé de 30 pieds an dessus de l’horizontale BD la valeur qu’on a trouvée dans cet exemple pour tang. I, fera celle de cos. F B D tang. E B D — tang. FBD §. 142 ; c’est-à-dire qu’on doit avoir 8,8971433 — l cos. FBD -4-1 tang. EBD —tang. FBD; mais puisque BF =2 1200 & FD — 30, / cos. FBD fera 222 9,9598643 , lequel étant retranché de 8,8971453 , il reste 8,8972810 2= L tang. EBD — tang. FBD; prenant les nombres on aura 0,0789371 __ tang. EBD _tang. FBD, d’où l’on tire, à cause de tang. FBD — 0,0250070 , tang. EBD — 0,103 9441 , qui répond à 5° 56' 3" pour la valeur de sangle EBD; ôtez - cn i° 25' 57" valeur de sangle FBD, sangle de mire EBF sera de 4° 30' 6 "dont le l tang. est 8,896,457 , ce qui donne une hausse de 6,6608 pouces , qui ne différé de celle qu’on a trouvée dans l’exemple que de 0,0205 po. ou d’environ 3 points ; différence peu sens, le qui ne peut occasionner qn’une erreur beaucoup moindre que les erreurs les plus communes de la pratique. 153. Si dans le premier exemple de la formule V 2= j/* -7-t-*, on suppose le but élevé de 50 pieds au dessus du niveau de la batterie , on trouvera l cos. FBD tang. EBD — tang. FBD =2 8,3397702 ; 8c cette valeur mise à la place de / tang. I, il en résultera DANS U VU IDE, tix une vitesse initiale de 1419,95 pieds, moindre seulement de 0,55 que celle qu’on a eue en ne considérant que sangle de mire de la piece, sans avoir égard à son inclinaison sur l’horizon. 154. Enfin , si dans le premier éxemple de la troisième formule on suppose saxe du canon incliné de 5 degrés fur l’horizon, on trouvera 8,3419150 pour le logarithme de cos. FBD tang. EBD — tang. FBD,qu’il faut mettre à la place de tang. I dans le calcul de cette formule ; & au lieu d’une portée de but en blanc de 2158,8 pieds, on en aura une de 2168,6 qui n’est plus grande que de 9,8, ou denviron la 220 me . partie. 155. Ces différences appréciées à leur juste valeur, eu égard à la pratique du service, on doit être bien Convaincu qu’elles ne font d’aucune conséquence pour la justesse du tir ; & qu’elles ne doivent pas nous faire sacrifier savan- rage d’un calcul très-simple pour la précision inutile d’une 2000m s. partie dans la vitesse initiale du projectile ; d’une zooms, partie dans la hausse, & d’une 200ms. dans la portée, C’est un degré de précision dont la pratique n’est nullement susceptible. 156. Dans tout ce qui précede nôus avons supposé que sangle de mire BCH fig. 18 formé par la ligne de mire GHC & Taxe de la piece, est égal à sangle CBF que le même axe fait avec la droite B F menée de la bouche du canon au but. Cette supposition , qui peut être admise lorsque le but est à une grande distance, indui- roit en erreur s’il étoit plus rapproché mais Terreur ne tomberoit que fur la détermination de la hausse négative , en ce qu’il en réfulteroit pour cette hausse une valeur qui auginenteroit à mesure que le but seroit moins éloigné 76 i-ii Mouvement des projectiles du canon , ce qui ne peut pas être car il est clair que , pour atteindre un but situé à chacune des intersections de la ligne de mire avec la trajectoire du projectile, la hausse doit être nulle, & qu’il saut diriger la ligne de mire fur le but ; de sorte que de Tune de ces intersections à l’autre la hausse négative doit augmenter jusqu’à un certain point, diminuer ensuite & devenir zéro. II y a donc entre ces deux points d’intersection une position du but où la hausse négative est un maximum. , & une autre position où la quantité dont il faut pointer plus bas que le but est ausii un maximum. 157. La position ou la distance du but qui donne ce dernier maximum peut se déterminer , fans qu’il soit nécessaire d’avoir égard à sangle au but BFC, & par le moyen de l'équation — -i-^. On a vu §. 82 que l’expression de la hausse est tang. I x l — m — n; & celle de la quantité dont il faut pointer plus bas que le but, tang. I x l — m — n j = yï -+- x x^ — ^^ ~~ x. Si l’on prend la différentielle de cette expression , on aura , en régalant à zéro , * = \ , 777 x - 7- 1 — l siui donne une valeur suffisamment exacte de la distance à laquelle il faut pointer le plus bas au dessous du but pour l’at- teindre. Ainsi, pour savoir à quelle distance doit être le but pour pointer le plus bas possible, avec une piece de 24, lórsque la vitesse initiale du boulet est de 8oo pieds par seconde, on fera le calcul suivant. BANS l’AIH. ï'23 158. Calcul de la formule A V*. . . 3,8061820 l - 3 .0,477121; comp. A 15,1 .... 8,8210231 comp. L c .6,2117480 L m —'n . . . 0,4099331 comp. log. I. .7,9294819 9,6554874 dont le nombre est . . 0,45236 ajoutez . . 1 1,45236 dont le log. 0,1620742 la moitié . 0,0810371 dont le nombre est . . 1,20514 ôtez-en . . 1 reste . . 0,20514 dont le log. 9,3120504 . 3 , 3 1 ”3 °7 2,6231811 = log. 420 pi = 70ts. C’est donc lorsque le but est éloigné de 70 toises qu’ii faut, dans le cas de cet exemple, pointer plus bas qu’à toute autre distance. II n’est plus question que de savoir de combien, à cette distance, il saut pointer plus bas que lç but. *-j4 Mouvement des projectiles 159. Comme cette quantité dépend de la hausse correspondante à la même distance, Terreur pourroit devenir sensible û Ton négligeoit de considérer Tangle au but BFC, que nous avons confondu jnsqu’à présent avec Tangle de mire, sous la même dénomination I, Soit donc sangle au but — i „ au lieu de l’équation tang. I =3 15,1 s X X \ . jç j ~—hx J , nous aurons tang. 1 — 1 = 2 ^ ; de forte' que, connoissant Tangle i par la distance connue x , 011 l’ajoutera à Tangle I — i trouvée par la derniere équation, ce qui donnera Tangle de mire I ; alors tang. I x l — m — n fera la hausse, & tang. I X l — /n — n j la quantité dont on pointera plus bas que le but. Appliquons ceci au dernier exemple, en supposant x — 420 pieds & V — 800 pieds. L x* ........ . 5,246498b comp. L c ... . .6,2117480 l.~ .1,4582466 dont le nombre est . . 28,72 ajoutez x . . 420 — -*-* - . . 448-72 dontlelog. . . 2,6519754 4 15, eomp. L .. 4,1938200 1 . tang. I — r' , . . 8,0247723 = /. à la distance de 70 toises on a Tangle i 4 24 donc Tangle de mire I est de ... . 40'48” DANS L’AïR. Ii S log. tang. I log. I ... . 8,0744067 2,0705181 log. tang. I x 7 . . . 0,1449248 tang. I x 7 . . . 1,3961 ôtez m — n .. . 2,5 7 reste la hausse négative — 1,1739 dont le log. . . . 0,0696311 log. x .2,6232493 comp. log. 7 .7,9294819 0,6223623 = 11 faut donc, dans le cas de cet exemple, pointer, ou diriger la ligne de mire naturelle de la piece à 4,1914, ou 4 pi 2 po 3 li au dessous du but. Si l'on n’avoit point eu égard à l’angle au but i , on. auroit trouvé la hausse négative — 1,3246 po , au lieu de — 1,1739 ; & 4 pi 8 p° 9 U pour la quantité dont il faut pointer plus bas que le but, au lieu de 4 pi 2P° 3 li. La différence 6 po 6 li de ces deux résultats est fans doute de peu de conséquence dans la pratique ; mais l’exactitude de la théorie ne permet point d’en ignorer la valeur. On voit donc que lorsque la vitesse initiale du boulet de 24 est de 800 pieds par seconde, on n’est jamais dans le cas de pointer la piece au dessous du but de plus que 4 pi 2 po 3 li, & qu’il faut pour cela que le but soit éloigné du canon de 70 toises. 160. A l’égard du maximum de la hausse négative, voici comment on pourra la trouver l’expreffion de la hausse est tang. I x 7 — m — n , dont il faut prendre la différentielle & régaler à zéro, pour eh déduire la ir6 Mouvement des projectiles distance du but qui donne ce maximum , ou simplement prendre la différentielle de tang. I, parce que les quantités l, m, n sont constantes dans chaque calibre. Or en considérant sangle au but i , on a tang. I — i — ^ + ï j, d’où il saut tirer la valeur de tang. I on observera à cet effet que tang. I — i — tang. I — tang. i L -f* tang. I tang. i §. 13 & que tang. i on a donc , en faisant 15,1 — g , = ;§• 55 T 11 tang. I - - . .g* gcx i. t fï’+et * 1 + ntV C V í- * ce 1U1 donne = La différentielle de cette valeur de tang. I, en prenant * pour variable , étant égalée à zéro , on a l’équation . . . . a . zncV* x . c’ V -4- a c x* - 4- c* x x — se = o îtV’jî flXL * 1 ~ 71 c ’ V 1 , dont une des racines donne la distance * qui répond à la plus grande hausse négative. Mais comme la recherche de cette racine donneroit lieu à des calculs trop longs, on remarquera que dans le cas des projectiles lancés par le canon, les termes - e V- *3 S n 8 c c- V* es sont ordinairement très- grands par rapport aux autres termes de cette équation ; & qu’on aura toujours une approximation suffisante en supposant uV 1 *3 e n c 1 V- c 1 v ,. -—- -— v, ou, multi- e n ee pliant par g n 8 c divisant par 2 c V 1 , x ì - 3- i c x* — n c V a 1 1 \ —— — o. Or cette équation n’exige qu’un calcul tres- simple pour voir la valeur de x car dans toute équation DANS l’aIR» 127 de cette forme x 3 - 4- p x* — q zn. o, il est aisé de voir 8 rand q ue V &î+e ' & pluS que X doit être plus grand que petit que Supposons donc , comme ci - dessus, V = 800, & , parce qu’il s’agit d’une piece de 24 ; n — o,537î pieds , on trouvera que x doit être > 142 pieds & l6 2 19 5 6 6,°59 4i5 575 I 12 33 14 22 5>97 2 49° 700 2 3 — l6 10 14 56 6,236 422 809 2 32 6 33 48 3,320 79 1 906 3 33 14 15 10 5,479 704 989 24 3 £ - 6 4 5,250 55° 1065 4 II 5 12 18 5>5°° 788 113a 5 33 34 2 18 32 6,278 1014 1250 6 33 33 6 18 3 6,778 1098 1320 8 33 - 5 6 1 34 5 ,ï66 756 i 1425 10 33 - O 2 0 47 4,826 799 1475 I 2 33 - 8 8 3 18 5,340 790 1530 liv. li. P t. ' " pi. pi. pi. » j — 41 6 12 7 6,028 281 { 500 » z — 40 7 14 I 1 5-958 324 618 1 33 - 6 3 i 28 6,486 449 704 1 ì 3 6 4 54 6,188 352 855 2 33 -19 4 7 18 6,031 537 992 16 2 i *9 5 11 33 5-240 746 IIIO 3 » 9 4 6 11 5,-67 748 I 221 3 í -15 8 6 25 5-653 666 1312 4 ” 20 2 11 18 6,170 988 -374 5 » O 8 1 31 5-'5 789 ì 1415 6 » *7 5 9 49 6,674 1047 1445 S 33 - 5 8 1 47 5,-53 788 1514 t DANS l’AIR, 147 liv. h. P t. P 1 - pi. pi. ” k -36 b I I I7 5,181 293 446^ 571 ” 5 — 4 2 I 40 3,271 775 I » — 16 9 3 36 5,09° 464 908 12 - z — 20 8 8 14 4,93i 502 1061 longue. 2 26 5 14 50 5,010 816 1181 2 j 4 3 3 33 4,896 726 T 1281 3 » 6 4 4 25 4,338 748 1361 4 » 2 4 2 12 4,601 814 1520 » i — 2 11 3 39 6,038 43 5 698 " i — 17 II 5 45 6,200 480 850 8 longue. I ,» 28 1 16 30 4,997 654 960 1 ì 2 — 18 11 - 7 6 7 43 2 23 6,667 5,5°° 642 702 1179 1324 2 - 4 3 0 56 4,896 725 1417 3 ” —11 7 4 39 5,25° 7i4 1459 » i -39 5 16 57 6,000 437 924 4 » r -34 3 15 ii 5,373 482 1117 longue. 1 » —32 4 i 4 39 5,847 5 60 1272 1 ï -30 11 14 21 4,733 555 1508 12 4 » — 14 » 5 5° 4,900 671 j 1442 8 >courtes - z IO » 6 7 4,198 788 j 1422 4 1 -35 11 16 45 4,552 5°3 1446 Nota. En relisant cette table, je me suis apperçu d’une erreur dans la vitesse du boulet de 8 tiré avec la piece longue de ce calibre cette vitesse, qui devrait être plus grande qu’avec la piece courte & la même charge, se trouve au contraire plus petite. Comme il n’est pas possible de revenir fur les procédés des épreuves qui ont donné cette vitesse , procédés dont l’exactitude doit d’aiU Mouvement des projectiles 148 Remarque I, 173. La premiers idée qui se présente à l’inspection de çes tables d’épreuves , c’est qu’il semble que ce soit en leurs être à l’abri de tous soupçons, il ne me reste d’autre moyen pour découvrir la source de Terreur , que d’avoir recours à une preuve encore existante de Tétât des pieces employées à ces épreuves, & que je trouve dans le procès-verbal de la visite faite en 1782 de toutes les bouches à feu du polygone j’y vois que dans la piece de 8, l’Engagisie , fondue à Strasbourg en 1774, poids 2155 livres, n°. 9 , Tante ctoit évasée de 3 à 4 points ,dans toute fa longueur. Or on verra ci-après par la table VIII du §. 176, que la piece de 8 donnant dans cet état d’évafement de Tante une vitesse de 1338 pieds, en a donné une de 1422 dans son état primitif; on peut donc conclure que TEngagiste évasé de 4 points, ayant donné une vitesse de 1417 pieds, auroit dû en donner une de i;o; , si cette piece eût été éprouvée lorfqu’elle ç’-avoit qu’une ligne de vent. C’est donc dans le rapport de 1417 à 150J qu’il faut augmenter les vitesses obtenues pour les autres çharges avec la même piece; Sc remplacer, pag. 116 de mes tables du tir des canons, la colonne qui a 125 toises en tête par çelje-ci Charges. liv. Vítejses. pi. 74Í 956 1 » lin . 1408 t lZo; . 1552 A Tcgard des vitesses résultantes des autres cjuaLités de poudres DANS L’AIR. 149 pure perte que la théorie prescrit des réglés pour la justesse d u tir à quoi sert en effet de connoître la vitesse initiale du boulet, & l’inclinaison qu’il faut donner à la piece de canon pour tirer à une distance donnée , si , comme nos épreuves l’indiquent, le projectile ne fuit presque jamais la direction du canon ; si entre cette direction & celle du départ du boulet il y a toujours un angle de quelques minutes ? Accident qui varie continuellement , qu’on ne peut ni prévoir , ni éviter, qu’on ne peut par conséquent soumettre au calcul , ni assujettir à aucune loi certaine pour y régler la pratiqúc. Avant de prononcer, voyons à quoi se réduit l’effet de cette différence entre sangle du départ du boulet & celui de l’inclinaison de la piece il en peut sans doute résulter une augmentation ou diminution considérable dans la portée fur un terrein horizontal ; mais ce n’est point par les portées que l’on doit juger de l’effet de cette différence. Ce qu’il y a ici principalement à considérer, c’ect le plus ou moins d’élévation du point où passe le boulet en vertu de l’angle de départ, relativement au point qu’il auroit dû frapper, ou par lequel il auroit dû passer, s’il eût suivi la direction de la piece. Car il n’est pas question dans Tissage du canon de faire tomber les boulets à terre, mais de les faire arriver à un but d’une certaine hauteur & étendue ; dès que ce but est frappé , n’importe en quel point, l’objet est rempli. Si, par exemple, ce on les trouvera par le principe que les vitesses données par les mêmes quantités de poudre, font comme les racines quarrées des portées du mortier d’épreuve qui indiquent la qualité des poudres. Voyei le §. j6, & Tinstrustion fur Tissage dos tables, pag. ta. ïjo Mouvement des projectiles but a une étendue de 8 pieds en hauteur, & que l’on pointe au milieu, le boulet Fatteindra quand même il don- neroit quatre pieds plus haut, ou quatre pieds plus bas ; or une différence de quatre pieds est produite à 300 toises par un angle de 7 ' 38 " ; à 200 toises par un angle de 11 ' 27 ", & à 150 toises par un angle de 15 ' 16 L’angle de départ du boulet peut donc différer de l’incli- naison de la piece de 7 ' 38 " à 300 toises; de 11 ' a 7" à 200 toises, &de 1316 " à 130 toises, fans que ce boulet manque un but placé à ces distances & qui auroit huit pieds de hauteur, la ligne de mire étant dirigée au milieu. Jetions maintenant un coup d’œil fur nos tables d’é- preuves, nous verrons que la plus grande partie des angles de départ du boulet font moindres que ceux que nous venons de calculer ; que fur quarante-fept coups , il y en a vingt-cinq dont l’angle de départ n’empêcheroit point le boulet de toucher un but de huit pieds de hauteur à 300 toises & au-delà ; cinq à 200 toises ; onze à 130 toises, & six qui en approcheroient beaucoup , à l’exception d’un seul tiré de la piece de 24 avec la charge de a ~ livres, dont l’angle de départ a été de 33 ' 48 II est vrai que cet angle a été trouvé beaucoup moindre à d’autres coups tirés avec la même charge; comme il est très-possible qu’avec les autres charges on obtienne des angles de départ plus grands que ceux qui font indiqués dans la table; parce qu'à cet égard le vent du boulet, feule cause de cet accident , est une source de variétés continuelles mais comme ces variétés ont lieu en plus & en moins, & à peu près autant dans un sens que dans l’autre, il y a toute apparence que la direction qu’il faut donner au çanon DANS l’AIK. I^I peut être regardée comme une moyenne entre toutes celles que prend le boulet, & que c’est en pointant fur le milieu de l’objet qu’on risque moins de le manquer. Concluons donc qu’en donnant au canon l’inclinaison prescrite par la théorie selon les circonstances , le tir fera plus juste , d’un effet plus constant, que si l’on cherchoit cette incli-* naison par des voies incertaines & par un aveugle tâtonnement. Remarque I I. 174. Nos formules indiquent la vîtesie qu’un boulet doit avoir en sortant du canon pour atteindre un but donné, ainsi que la maniéré de diriger la piece par le moyen de la hausse. D’un autre côté, l’on trouve dans nos tables d’épreuves la charge de poudre qu’il faut employer pour communiquer cette vitesse au boulet il paroìt donc qu’on a tout ce qu’il est nécessaire de con- noître pour tirer avec justesse la charge de poudre & la direction de la piece. II n’y auroit en effet plus rien à desirer à cet égard, si les poudres qu’on est dans le cas d’employer avoient toutes la même force, & égale à celle de la poudre qui a servi à nos épreuves ; si la même quantité de poudre communiquoit toujours la même quantité de mouvement mais il s’en faut de beaucoup que l’on puisse compter fur une pareille uniformité ce n’est pas que la poudre tirée d’un même baril, ou de dif- íérens barils provenant de la même fabrication, ne soit de la même qualité, & ne produise le même ester dans des tems semblables; l’expérience ne laisse aucun doute à ce sujet ; mais elle nous apprend aussi que pour des poudres fournies par différentes fabriques, ou qui dans Mouvement des projectiles ia même fabrique sont faites en différens tems, il régné une très-grande variété constatée par les épreuves de réception. L’Ordonnance prescrit que les poudres seront essayées au mortier d’épreuve, & que pour être reçues dans les magasins du Gouvernement, une charge de trois onces portera le globe de soixante livres au-delà de 90 toises. Or depuis une quinzaine d’années ces épreuves ont donné des portées qui ont varié depuis 100 jusqu’à 120 toises ; & en dernier lieu la fabrication des poudres s’est tellement perfectionnée, que la portée d’épreuve a été de 125 toises. C’est de cette derniere qualité qu’étoit celle qui a servi aux épreuves dor - les résultats font rapportés dans la table VII. S’il existai donc des poudres de différentes qualités, nos épreuves ne peuvent être vraiment utiles qu’autant que l’on aura un moyen d’en déduire la charge d’une autre espèce de poudre capable de communiquer au boulet une vitesse donnée. Par exemple, notre table indique que la charge de 2 j livres imprime au boulet de 24 une vitesse initiale de 906 pieds par seconde , lorsque la poudre est de celle dom trois onces portent le globe du mortier d’épreuve à 125 toises; il s’agit de savoir quelle doit être la charge d’une autre espèce de poudre qui imprimeroit la même vitesse, sachant que trois onces de cette poudre donnent, avec le même mortier d’épreuve, une portée de 105 toises ? Pour résoudre cette question, rappellons-nous ce qui a été dit à l’art. 57, que les vitesses communiquées à un projectile par la même charge de différentes espèces de poudre, font proportionnelles aux racines quarrées des pqrtées du mortier d’épreuve, & concluons que si avec une certaine charge la poudre de 105 toises donne une ÍJANS CaIR, tijf Vitesse de 906 pieds au boulet de 24, celle dé iij toises avec la même charge doit lui en donner une d’environ 990 ; ces deux nombres étant entre eux dans le rapport de Y 105 à •/ 125; mais pour avoir cette derniere vitesse avec Fespece de poudre qui a servi à nos épreuves , il faut, suivant la table , une charge de 3 livres c’est donc aussi une charge de 3 livres qui imprimera une vitesse dé 906 pieds avec de la poudre de 105 toises. Voilà donc un moyen infaillible de connoître la vitesse résultante d’une charge de poudre, quelle qu’en soit lá qualité, lorsque cette qualité est connue soit par des épreuves faites dans cette vue , soit par les épreuves de réception, II est vrai qu’on n’a pas toujours fous la main un mortier d'épreuve pour s’assurer de la force des poudres qu’orí est dans le cas d’employer, & qu’une fois reçues dans les magasins, il ne reste plus aucun indice de l’épr'èuve qu’on leur a fait subir ; rien par conséquent qui puisse eii faire reconnoître la qualité. Ce qui sembleroit être une nouvelle preuve que notre théorie n’est d’aucune utilité pour la pratique. Mais ne pourroit-on point marquer fus chaque baril de poudre la portée de Fépreuve , comme 011 y marque le lieu & l’année de la fabrication ? Cette formalité de plus ne fouffriroit pas la moindre difficulté y Finspection d’un baril suffiroit alors pour faire connoître la qualité de la poudre qu’il renferme ce feroit de la poudre de 100 toises , de 120 toises , &c. & notre théorie indiqueroit la charge qu’il faudroit employer de cette poudre pour remplir l’objet qu’on fe propose. Si l’objef de l’Ordonnance est rempli, quand la poudre qu’on éprouve porte au-delà de 90 toises, aujourd’hui, en 1793 , au* delà de 100 toises ; si le bien du service exige que Findi- 154 Mouvement des projectiles cation tle la portée d’épreuve soit conservée sur les barils' ce n’est point encore affez pour le succès du tir des armes à feu il faut en outre que la connoissance de cette indication parvienne dans les batteries auxquelles la poudre est destinée , & qu’à cet estes il soit enjoint aux artificiers , chargés de préparer les cartouches , d’y mettre la marque du baril d’où les poudres font tirées seul moyen de con- noître dans toutes les circonstances la qualité des poudres qu’on emploie , 8c de régler en conséquence la maniéré de pointer. Et qu’on ne dise pas que la poudre étant sujette à de fréquentes altérations , toute indication de fa force primitive ne pourroit qu’induire en erreur fur fa force actuelle l’expérience nous apprend par des faits bien constatés , que la poudre fe conserve très-bien dans les magasins pendant une longue fuite d’années ; 8c qu’à moins de quelqu’accident extraordinaire , ou de négligence , qui ne doit point faire réglé , on peut toujours compter fur la qualité annoncée par les épreuves de réception *. Ceci paroît contredire ce que nous avons * J’ai vu , en 1781, éprouver des poudres de la manufacture tl’Arcier, qui avoient été reçues en 1772., & portoient le globe jufqu’à toises. Dans le magasin du fort Nieulet à Calais, on trouva , en 1776 , les poudres dans un état apparent de la plus mauvaise qualité les cbappes & les barils étoit tombés en javelles ; une grande partie des poudres étoient en pains couverts tle poussière ; on égrena ces pains , on les passa au tamis, 8c les ayant soumis à l'épreuve , on obtint les mêmes portées qu’au temps de la réception. En 1772 on trouva à Strasbourg environ dix-huit milliers de poudre renfermés dans une ancienne tour de îa ville , provenant de l'évacuatien de Fribourg en 1744 malgré le mau~ DANS L’AIR. r;; dit ailleurs note 8, page 107 de notre traduction de Robins des variations infinies auxquelles la force de la poudre est sujette mais la contradiction n’est qu’appa- rente; dire qu’il existe des poudres de différentes qualités, démontrer l’impostibilité qu’une formule des vitesses satisfasse à tous les cas ; c’est prouver la nécessité de con- noìtre par de bonnes épreuves la force de celle qu’on veut employer. Remarque, III. 175. Les vitesses déduites des épreuves rapportées dans la table précédente, ont été calculées d’après l’hypothefe que la force de la résistance qu’une fphere éprouve en traversant l’air avec une certaine vitesse, est équivalente au poids d’une colonne d’air de même diamètre que la fphere , & d’une hauteur égale aux de celle dont le mobile devroit tomber pour acquérir cette vitesse. C’est peut-être un inconvénient attaché à la méthode que nous avons employée, qu’il faut connoître la résistance de l’air pour avoir la vitesse du projectile ; différente en cela de la méthode de Robins , qui donne cette vitesse indépendamment de toute hypothèse de résistance. II arrive de là que le moindre doute fur la vérité de celle que nous vais état des barils & des chappes , ces poudres donnerent au mortier d’épreuve des portées de 117 toises, & furent employées au service du polygone. Enfin , tout récemment, à la fin de 1792 , des poudres restées dans le magasin du Saint-Esprit» ont été reconnues, quoique fabriquées en 171S, pour avoir une force de près de 120 toises. ;;6 Mouvement des projectiles avons adoptée, répand de rincertitude fur les vitesses résultantes de nos épreuves ; & ce doute n’est que trop bien justifié par toutes les difficultés dont la théorie de la résistance des fluides est encore hérissée. De toutes les expériences que nous savons avoir été faites fur la résistance de l’air , celles de M, le Ch cr . de Borda nous ont paru les plus propres à faire connoître la résistance que ce fluide oppose au mouvement d’une sphere mais avant d’admettre la loi qui en résulte, nous avons cru devoir la soumettre à des épreuves qui en assurassent la certitude il ne íalioit pour cela qu’employer cette ioi de résistance pour calculer la vitesse que le boulet reçoit dans l’épreuvc d’une charge de poudre donnée ; & voir ensuite si avec la même charge le boulet atteindra un but à une distance connue , la piece étant dirigée suivant les principes que nous avons établis, & d’après la même hypothèse de résistance. On trouve par exemple par la table des épreuves que Ja charge de 8 livres de poudre communique au boulet de 24 une vîteflè initiale de 1425 pieds par seconde voulant donc savoir comment il faut diriger la piece pour que le boulet atteigne un but éloigné de 400 toises , en employant la même charge de 8 livres , mais - d’une poudre de 120 toises, qui ne devoit par conséquent donner qu’une vitesse de 1396 pieds, nous avons trouvé par le calcul dn §. 147 qu’il falloit une hausse de 5 lignes 9 points; 6c la piece étant ainsi dirigée, le boulet donna à la hauteur du but, Vouloit-on déterminer la charge propre à tirer la piece de 24 de but en blanc à la distance de 215 toises, la poudre étant de celle qui porte le globe du DANS L’AIR. *57 mortier d’épreuveà 120 toises ? la formule du §. 144 nous apprend que , pour remplir cet objet, la vitesse initiale du boulet doit être d’environ 1034 pieds, & nos tables indiquent qu’avec de la poudre de 123 toises, il faut une charge de 3 liv. 3 onces ; mais comme il s’agissoit d’un'e poudre de 120 toises , il a fallu employer une charge de 3 liv. 8 onces * , suivant ce qui a été dit dans la remarque précédente ; ayant donc pointé de but en blanc avec cette charge , le boulet frappa le but désigné. Ensin nous eûmes le même succès en tirant une piece de 16 avec 12 onces de poudre pour atteindre au but éloigné de 250 toises; c’étoit de la poudre de 120 toises notre théorie donnoit une hausse de 6 points 11 lignes ; & la piece inclinée en conséquence de cette hausse porta le boulet à sa destination. Ces épreuves & beaucoup d’autres qui nous ont également bien réussi , ne laissent aucun doute fur la bonté de notre théorie, & fur les avantages que l’on peut retirer de son application à la pratique. On pourroit même se croire fondé à conclure que la loi de résistance que nous avons adoptée, est précisément celle qui s’observe dans la nature ; mais ce seroit se faire illusion nous connoissons des théories dont les résultats font aussi d’accord avec ceux de Fexpérience, quoiqu’établies fur d’autres hypothèses de résistance. Cet accord n’est donc pas toujours une preuve qu’on ait rencontré la vraie loi, suivant laquelle l’air résiste au mouvement des projectiles ; il donne seulement à présumer que si * Cette charge a été modifiée à cause d’une circonstance dont nous parlerons dans la remarque VIII. Mouvement des projectiles l’on admet la même loi de résistance pour la recherche de la vitesse initiale du boulet, & dans l’usage que l’on fait ensuite de cette vitesse pour diriger le canon, la pratique pourra s’accorder avec la théorie * , quand même cette loi ne seroit pas exactement celle de la nature au lieu qu’en employant, pour connoître la vitesse , une méthode indépendante de toute hypothèse de résistance, comme est celle de Robins, cet accord ne fera possible qu’autant que la théorie fera fondée fur la vraie résistance de l’air. Notre méthode est donc préférable , & plus avantageuse pour la pratique, malgré l’incertitude où elle peut nous laisser fur la vitesse réelle des projectiles. Remarque. I V. 176. L’angle de départ du boulet par ses variations, & la poudre par ses différentes qualités, ne sont point les seules causes des irrégularités auxquelles le tir du canon est sujet on s’apperçoit aussi quelquefois qu’avec l’incli- naifon relative à la vitesse initiale du boulet, les portées des pieces de canon n’ont point l’étendue que comportent la charge & la qualité de la poudre , en supposant même la plus grande différence observée entre sangle de départ du boulet & l’inclinaison de la piece. C’est ce qui arrive à mesure que les pieces ont plus de service, & parti- * Ayant calculé la portée de but en blanc d’une piece de 24 ebargée de a L Uvres de poudre , dans l'hypothese de n rz - & dans celle de n 222 ~ , on la trouva dans les deux cas de 170 toises dans le premier , avec la vitesse initiale de 906 pieds, & &ms le second , avec celle de 927 pieds. DANS L’AIS. 1 19 culiérefnent aux canons de bataille, dont le feu plus vif les dégrade plus promptement. Ayant répété, en 1783 , les épreuves faites deux ans auparavant , & qui font rapportées dans la table VII, on trouva pour les boulets de 8 & de 4 des pieces de campagne une vitesse beaucoup moindre, & telle que la différence ne pouvoit être attribuée à la qualité de la poudre qui étoit de 120 toises de portée au mortier d’épreuve, tandis que celle employée en 1781 ne lui étoit supérieure que de 5 toises. Voici le tableau comparatif des vitesses obtenues à ces deux époques. 8 de 4 Charges de poudre. 2 \ liv, i liv. Vitesses en 1781. 1422 1446 Vitesses en 1783. 1190 1328 Vitesses, la poudre étant de 120to. 1393 1416 Comme on n’avoit pas mis moins d’attention dans- les procédés des dernieres épreuves que pour celles de 1781, la cause de cette grande différence devenoit un mystère impénétrable mais nous découvrîmes bientôt cette cause en nous rappellant la visite générale faite précédemment de toutes les bouches à feu au service de l’Ecole *. II en est résulté que dans la plupart des pieces visitées, le diamètre de Famé étoit considérablement augmenté de- 1 * Cette visite ordonnée par le Général Duteil, alors Commandant dé l’Ecole, avoir pour objet noxi-feulement de constater l’état des bouches à feu, mais encore d'instruire les Officiers de U maniéré d’employer les instrumens destinés à cet usage. x6a Mouvement des projectiles puis deux ans qu’on avoir fait une pareille visite. Ná cherchons point ailleurs , que dans cet évasement de l’ame des pieces, la cause de la diminution de vitesse observée aux dernieres épreuves. Le fluide qui s’échappe entre le boulet & les parois de l’ame , ne contribue en rien au mouvement progressif du boulet ; il est en pure perte à cet égard ; or il est clair qu’il s’en échappe d’autant plus que l’ame est plus évasée, ou que le vent du boulet est plus grand. II n’esl donc plus question que de pouvoir évaluer la déperdition de force occasionnée par une augmentation connue du calibre d’une piece de canon. M. Lisser a trouvé pour cet effet une formule , dont l’application au cas présent peut répandre du jour sur cette matière. Cette formule donne aussi la vitesse initiale qu’auroit le boulet, si son diamètre étoit égal au calibre de la piece , c’est-à-dire s’il n’y avoir point de vent ; connoissant bailleurs fa vitesse dans le cas d’une différence connue entre ce diamètre & celui de l’ame du canon. Soit u la vitesse du boulet lorsque ces deux diamètres font égaux ; V la vitesse du boulet lorsque son diamètre est moindre que le calibre du canon de la quantité prescrite par l’Ordonnance, & tel qu’il étoit aux épreuves de 1781 ; & v cette vitesse lorsque le calibre de la piece est agrandi ; nommant aussi m ce que l’excès du cercle du calibre fur le grand cercle du boulet est par rapport à celui-ci dans le second cas, & n dans le troisième voici les formules de M. Euler, pour exprimer le rapport entre les vitesses V, u & v. Voyez notre Traduction de Robins, pag. 248. DANS í’AIR, 1 6í t 2,9685 ^ 1,5865 y Connoissant donc V, 011 aura les deux autres vitesses u & v. Ces formules appliquées aux trois pieces de bataille ont donné les résultats foi van s , relativement aux différens vents que le boulet peut avoir dans ces pieceS à mesure que leurs calibres deviennent plus grands. Les charges font de 4 liv. pour le ir ; de 2 ; pour le 8; Si de 1 j pour le 4. 21 Mouvement des projectiles i6x TABLE VIII. Des vuejjes relatives à tèvasement des pieces. Vent livaíement 12 8 4 d u du calibre Poudre de Poudre de Poudre de boulet. despieces. I2J to. 120 tO. 125 to. J 20 tO. 125 to. 120 t0. Hg. pt. Q O pt. pi. 1680 pi. 1646 pi. 1694 pi- 1660 17 pi. 1772 I o 1413 1422 -394 1446 1416 I I I 1423 1 393 1401 1 373 - 4-9 1390 I 2 2 1405 1376 1380 1352 1392 -363 I 3 3 1387 1 3 59 1 3 59 1332 1363 -337 I 4 4 -369 1341 1338 13 I I 1 339 1312 î 5 -33- 1324 1318 I 292 - 3-3 1286 6 6 1333 1306 1298 1272 1287 1261 7 7 1316 1289 1279 1253 1262 1236 8 8 1 299 1273 1239 1234 1237 1212 I 9 9 1281 I2 55 1240 1213 1213 n88 I IO IO 1264 1239 1221 1196 1188 1164 I II II 1247 1222 I 202 1178 1164 I 140 2 , 12 1230 I20Í 1182 1160 I 141 I I 17 2 I -3 1213 I 189 116; II 4 I 1118 1093 2. 2 14 -197 1173 1147 H22 1095 107Z 2 3 13 1181 II58 H29. 1106 IO72 2 4 l6 1165 I 142 II I I 1088 10^0 J O29 2 5 17 1150 I I2Ó 1093 1071 1028 1008 2 6 18 1124 I I l I 1076 -054 1007 987 Nous n’avons point étendu cette table au delà d’un évasement de 18 points, parce qu’une piece qui en au- roit davantage seroit réputée hors de service. Voyons maintenant fi nous y trouverons la cause de la diminution de vitesse observée dans nos épreuves. La vitesse du boulet de 8 tire d une piece de campagne DANS L’AIR. T63 étoit, en 1781, de 1421 pieds, avec une charge de 2 \ livres de poudre , & la poudre d’une qualité indiquée par 125 toises de portée. En 1783 , la charge étant la même , & la qualité de la poudre indiquée par 120 toises , la vitesse du boulet tiré de la même piece, a été trouvée de 1190 pieds. La table précédente fait voir que cette derniere vitesse, si elle ne provenoit que de l’augmentation de calibre, devroit être attribuée à un évasement de 11 à j 2 points ; mais en ayant égard à la qualité de la poudre , elle provient d’un évasement de 10 à 11 points. Or suivant le procès-verbal de la visite des picces, mentionnée ci-dessus , l’évasement moyen de la piece de 8 employée aux épreuves se trouve être de 7 à 8 points ; il y a donc une autre cause qui a dû concourir avec l’augmentation de calibre à la diminution de la vitesse. Cette cause, nous ne pouvons que la soupçonner , en supposant que le boulet employé aux dernieres épreuves avoir un diamètre un peu moindre qu’aux premieres , de maniéré à augmenter le vent de 3 à 4 points en effet, l’on n’a pris d’autre précaution pour le choix des boulets que d’employer ceux qui passoient par la grande lunette fans passer dans la petite; & comme les diamètres de ces lunettes diffèrent de 9 points, il est très-possible que la différence entre ceux des boulets ait été de 3 ou 4 points , & même davantage. II en est de même du boulet de 4 qui avoir une vîteste de 1446 pieds par les épreuves de 1781 , & une de 132S par celles de 1783 cette diminution, suivant nos tables, & ayant égard à la qualité de la poudre, indiqueroit un évasement de 3 à 4 points ; tandis qu’il résulte de la visite des pieces, que celle qui a servi aux épreuves en avoir un moyen de 9 points ; d’où l’on peut présumer qu’aux ï>4 Mouvement des projectiles dernieres épreuves le boulet étoit de 5 à 6 points plus gros qu’aux premieres. Ne pouvant donc rien assurer de certain fur la différence exacte de ces diamètres, ni par conséquent évaluer l’influence que le vent du boulet a pu avoir dans nos épreuves fur fa vitesse initiale , nous ne pousserons pas plus loin cet examen qui exige d’autres expériences, & nous terminerons cette remarque par quelques réflexions générales. La nécessité de faire le diamètre de l’ame des pieces plus grand que celui du boulet, entraîne plusieurs incon- véniens préjudiciables soit aux pieces elles-mêmes, soif à la justesse & à l’uniformité du tir. Le boulet ayant la liberté, à cause du vent, de s’écarter de la direction de Taxe du canon , y étant même sollicité par les impulsions obliques qifil reçoit pendant qu’il parcourt l’arne de la piece ; il en résulte des chocs fréquens , des battemens contre les parois , qui refoulent le métal & altèrent les dimensions de Pâme ces effets sont d’autant plus prompts qu’il s’excite une chaleur considérable dans la masse métallique , & que le fluide élastique de la poudre contribue aussi à les augmenter. C’est là une des principales causes de l’évasèment que l'on observe dans l’ame des pieces après un certain temps de service. II en est une autre qui sc- roit bien plus efficace , si l’on n’avoit soin de nettoyer les pieces toutes les fois qu’on s’en est servi la crasse qui s’attache aux parois de l’ame des pieces à chaque coup que l’on tire ; cette matière humide, noire & fétide, n’est autre chose qu’un soie de soufre formé par la combinaison du soufre, qui entre dans la composition de la poudre , avec l’alkali fixe dégagé de- î’acide nitreux dans la déten- nation du salpêtre le soufre, dont le? particules fe réu-*- dans l’air. 16 ; Hissent alors à l’aide du calorique , ayant une grande affinité avcc cet alkali, s’en empare ; & leur union s’opere dans Finstant même que l'acide nitrique réduit en vapeur par Finflammation , abandonne fa base alkaline. Or on sait que ie foie de soufre est un puissant dissolvant des substances métalliques ; & quoique le métal du canon ne soit point dans un état de division propre à être facilement dissous, cela n’empêche point qu’il ne soit attaqué à sa surface par le foie de soufre, & qu’à la longue Fesser n’en devienne très-sensible, comme on peut le voir aux pieces de canon dont les parois intérieures font égrenées, ou criblées d’une infinité de petites cavités dans tous les endroits où cette crasse a séjourné. Dans cet état le moindre frottement du boulet, la moindre action de la poudre enflammée enìeve les petites éminences qui tapissent les parois de l’ame & en augmente le diamètre. 11 est donc très-important pour la conservation des pieces, qu’elles soient soigneusement nettoyées aussi-tôt qu’on s’en est servi il seroit même à propos qu’el'es fussent tamponnées pour en garantir Fintérieur des impressions de l’at- mosphere , dont Finíluence sur le cuivre & le fer est assez connue. Quoi qu’il en soit des causes qui concourent à élargir Famé des pieces , que nous venons de n’indiqner que très- sommairement, Fesser n’en sautoir être douteux ; de cet évasement s’ensuit nécessairement une diminution dans la vitesse du boulet aussi voit-on aux exercices des écoles, qu’après deux ou trois campagnes , le degré de hausse , qui dans la nouveauté des pieces servoit à porter le boulet à une centime distance, n’esl plus suffisant pour donner la même portée les tables des hausses qu’on s’empresse 166 Mouvement des projectiles de se procurer se trouvent en défaut & induisent communément en erreur ; on s’en prend à la poudre , qui peut bien avoir quelque part à ces irrégularités, mais le plus souvent elles proviennent du vent du boulet devenu trop considérable par l’évasement de l’ame du canon. Le moyen de remédier à cet inconvénient, & empêcher qu’il ne soit nuisible à la justesse du tir, seroit sans doute de prendre une connoissance exacte du calibre des pieces, de s’assurer même de la qualité de la poudre , & de régler en conséquence le degré de hausse qu’il convient d’em- ployer pour la distance du but, ce qu’on trouve facilement par ce qui a été dit aux art. 148, 149, 174 , & en consultant la table VIII. Mais ce moyen, tout simple qu’il est, paroîtra peut-être impraticable , & sera vraisemblablement relégué dans la classe des spéculations inutiles à la pratique du service ; n’étant point à présumer que dans la chaleur d’une action & parmi les embarras d’une batterie , on s’occupe des calculs que cette recherche peut exiger. Mais si ces calculs font tout faits , s’il ne faut qu’un coup d’œil pour en connoître les résultats, les objections contre notre théorie perdront toute leur force. C’est à quoi font destinées les tables du tir des canons & obusiers que nous avons calculées , & qui doivent faire fuite à cet ouvrage. Au reste nous croyons avoir rempli le principal objet de cette remarque, qui est de faire connoître Feftet que l’évasement successif de l’ame des pieces produit fur la vitesse initiale du boulet, & la maniéré d’y avoir égard * . * Une des principales causes de Pévasement des pieces & de leur prompt dépérissement > a fa source dans l’opération du forage dans l’air; Remarque V. 177. II se présente aussi quelques observations à faire fur les variations qu’une même charge de poudre éprouve dans ses effets, relativement aux diverses inclinaisons du canon. Lorsque l’ame d’une piece est dirigée horizontalement , le boulet ne peso point sur la poudre , qui n’a alors d’autre obstacle à vaincre pour le mettre en mouvement , que celui qui résulte de son inertie ; la pesanteur n’opposant aucune résistance dans le sens horizontal. Si la piece est inclinée au dessous de l’horizon , non-seule- ment le boulet ne peso point fur la charge, mais il tend encore à se mouvoir indépendamment de Faction de la poudre & à descendre le long de l’ame du canon, comme sur un plan incliné , par la seule action de la pesimteur; de sorte que la vitesse communiquée par la poudre au boulet est augmentée de celle que lui imprime la pesanteur pendant qu’il parcourt l’ame de la piece, & c’est la somme de ces deux vitesses qui forme alors la vitesse initiale avec laquelle le mobile est chassé hors du canon. Enfin, si la piece est inclinée au dessus de l’horizon, le boulet peso fur la charge & oppose une partie de son. combiné avec les imperfections de la fonte du métal. Le raisonnement vient à l’appui de Inexpérience qui ne laisse aucun doute à cet égard ; il y a long-temps que les bons artilleurs désirent qu’on en revienne à la méthode de couler à noyau le bien du service &l’économie y trouveroient également leur compte. Mais ce n'est point ici !e lieu de s’étendre cavantage fur cet objet important, auquel il est cependant essentiel que le Gouvernement donne une attention particulière. 163 Mouvement des projectiles poids à l'estort de la poudre dans ce cas, la vitesse communiquée par la poudre est diminuée de celle qui résulte de la pesanteur & il est évident qui cette vitesse additive ou soustractive , selon que la piece incline au dessous ou au dessus de l’horizon augmente dans le rapport du sinus de ^inclinaison de la piece. II fuit de là que si la même charge exerce la même force dans chacun de ces trois cas, la vitesse initiale du boulet seroit plus grande au second qu’au premier & moindre au troisième. Mais cette différence ne mérite aucune considération , puisqu’elle ne va qu’à de pied pour une inclinaison de > o degrés, & pour une vitesse qui seroit parcourir l’ame du canon en — de seconde. II est une autre cause qui produit une différence bien plus considérable dans la vitesse du boulet elle vient de ce que Pinflammation de la poudre n’est point instantanée; que le fluide produit par cette inflammation ne se développe que successivement ; qu’il s’en développe damant plus d'une charge déterminée pour agir contre un obstacle ; que cet obstacle oppose une plus grande résistance ; qu’enfin une charge produit tout l’effet dont elle est capable dans un canon, lorsque son inflammation est complette dans l’espace même qu’elle occupe au fond de l’ame. Cela posé, il est aisé de concevoir l’influence de Pinclinaison d’une piece sur la vitesse du boulet, la charge étant la même cette vitesse ne dépend point tant de la quantité de poudre qui compose la charge, que de celle du fluide élastique développé par Pinflammation avant que le boulet soit ébranlé; car c’est dans Pexpansion d’une certaine quantité de ce fluide que consiste toute la force de la poudre. De là bous allons découvrir un effet contraire de celui que nous venons d’examiner en effet, dans le cas d’une piece inclinée au dessus de l’horizon, le boulet placé dans le canon comme fur un plan incliné pefe fur la charge de poudre d’une partie de son poids, & oppose par conséquent a l’expansion du fluide élastique une résistance plus grande & plus longue que par fa feule inertie dans le cas d’une direction horizontale ; il doit donc se développer une plus grande quantité de ce fluide avant le départ du boulet, & celui-ci recevoir une plus grande vitesse. C’cst le contraire quand la piece est inclinée au dessous de l’horizon. Mais il est à observer que cette différence n’est sensible qu’avec de fortes charges, avec celles qui ne s’enflamment point entièrement avant que le boulet soit ébranlé ; de forte que pour le tir à ricochet, où Fort n emploie que des charges de 8 à 12 ou 16 onces de poudre , dont l’inflammation doit être complette avant le départ du mobile, il n’est pas à présumer que l’incli- naifon de la piece puisse, par cette raison, augmenter 011 diminuer la vitesse obtenue par un tir horizontal. Concluons de ce que nous venons de dire, que les vitesses obtenues par nos épreuves étant le résultat d’un tir horizontal, il est essentiel pour la justesse du tir d’y faire quelque changement en plus ou en moins lorsque le tir est oblique. De savoir au juste à quoi se réduit ce changement, c’est fur quoi il n’est pas possible de prescrire de réglé certaine, la loi que la poudre fuit dans son inflammation n’étant point assez connue. Concluons aussi qu’un projectile plus pesant doit recevoir de la même charge une quantité de mouvement plus considérable , qu’un autre mobile plus léger, lorsque la charge est suffisamment forte, puifqu’à raison d’une plus grande vjo Mouvement des projectiles masse il doit résister davantage & plus long-temps à l’expansion d u fluide élastique. Le boulet de 24 & k bombe de 12 pouces nous en fournissent un exemple bien sensible le premier reçoit d’une charge de 8 livres une vitesse de 1500 pieds par seconde, & l’autre de 3 livres 12 onces une vitesse de 400 pieds; c’est pour le boulet une quantité de mouvement de 24 x 1300 ou 36000, & pour la bombe une quantité de mouvement de 150 x 400 ou 60000 ; voilà donc une charge plus que double qui ne produit fur le boulet qu’un effet un peu plus que moitié de celui que l’autre produit fur la bombe ; d’où peut provenir une aussi grande différence ? Nous n’en voyons d’autre cause que la pesanteur de la bombe plus grande que celle du boulet, & ^inclinaison du mortier plus grande que celle du canon ; ce qui occasionne nécessairement de la part de la bombe une. résistance plus forte & de plus longue durée à l’expansion du fluide de la poudre, & fait qu’une moindre charge, en s’enflam- mant entièrement, produit plus d’effet qu’une charge plus forte qui ne s’enflamme qu’en partie avant le départ du projectile. Cette remarque peut servir à prévenir plusieurs erreurs qui se commettent dans la pratique, ou à expliquer au moins certains effets soit-disant irréguliers de la poudre. > Remarque V I. 178. Est—il avantageux ou nuisible de refouler le bouchon de fourage fur la charge & fur le boulet ? Quoique cette question ait souvent été agitée, il paroît que les avis font encore partagés , & que les voix prépondérantes font pour les avantages de cette pratique. L’u- DANS L’AIR. I 7 I sage est toujours de refouler six coups fur le bouchon qui recouvre la charge, & trois fur celui du boulet ; ceci ne regarde cependant que les pieces de siégé, car pour celles de bataille on fe contente de ne refouler qu’un seul coup , dans l’intention fans doute de sacrifier à la promptitude de Fexécution, ce que quelques coups de plus pour- roient ajouter á la force du boulet. La diversité des opinions donnant lieu à des doutes concernant Futilité du refoulement, nous avons cru devoir consulter Fexpérience, en employant la méthode décrite à Fart. 68 , comme plus propre qifaucune autre à fixer les idées. Voici comment on s’y est pris pour faire ces épreuves on a tiré six coups avec une piece de 16 chargée de 6 livres de poudre, renfermée dans une gargousse de papier 8e dirigée horizontalement , dont trois avec deux bouchons de fourage, l’un fur la charge refoulé de six coups, l’autre fur le boulet refoulé de trois coups. Aux trois autres coups la charge n’a été que pressée dans le fond de l’ame, le boulet immédiatement pardessus Sc recouvert d’un bouchon qui a été refoulé d’un seul coup, voulant s’assurer feulement que la charge touchoit le fond de Famé & que le boulet étoit contigu à la charge. Les résultats de ces épreuves font indiqués dans la table suivante. VîtejJíS initiales du boulet de 16 cha£e avec 6 livres de poudre . Ordre des coups en refoulant. pi. 1 1419 1420 1440 Ordre des coups fans refouler pi. 2 144$ 4 M$i 6 1438 3 S *7 ~ Mouvement des projectiles D’où l’on voit qu’il est au moins inutile de refouler. Ces épreuves viennent à l’appui du raisonnement; mais pour ne pas nous en tenir à notre opinion particuliers fur un usage consacré par une longue suite d’années , nous allons transcrire ici une note qui se trouve dans les Mémoires de Saint-Remy, tome I, page 279 , édition de 1745. " Suivant des expériences faites à la Fere, le bouchon dont on recouvre la charge & le boulet, ne contribue 5» en rien à augmenter la violence du coup, soit qu’il » ait été plus ou moins refoulé. Voici ce que porte sor » ce sujet un Mémoire particulier qui a été fait à l’oc- j> casion de ces expériences. » Quand on a introduit avec une lanterne la poudre » dans le canon, on ne peut se dispenser de se servir » d’im bouchon pour la rassembler, & il convient d’en » réduire le volume, asm de diminuer i’intervalle qui 5» est entre la poudre & le boulet; mais de croire, selon » l’opinion commune, qu’un bouchon plus gros qu’un autre, refoulé avec plus de violence & par un plus grand nombre de coups, contribue à chasser le boulet „ plus loin , e’est un préjugé dont on se désabuse pour v peu qu’on y fasse attention. v Si en refoulant davantage un bouchon, il potivoit v acquérir la dureté d’un corps solide & une forte adhé- v sion aux parois de Faîne de la pîece , comme cela arrive v aux balles des carabines , qu aux tampons chassés avec » force, pour les pétards pratiqués dans le roc, il est v constant que la difficulté que la poudre qui s’enflamme v au commencement, rencontreroit à chasser le boulet, » donnant lieu k une inflammation plus contplette, U DANS L’AIR. ì 7 $ n en recevroit une plus grrnde impulsion mais l’on doit » avoir de ces deux objets un sentiment bien différent car comme le fourage est composé de parties flexibles 3 > & détachées, qui n’ont aucune adhésion avec les pa- 3> rois de la piece, quelle résistance peut-il opposer à la 3> violence de la poudre ? & peut-on tenir compte d’un 3» frottement aussi insensible ? Que si l’on se sert d’un 3 > gros bouchon plutôt que d’un moyen, & même de 3> plusieurs refoulés nombre de fois les uns après les 3 autres , l’adhésion n’en fera pas plus forte , par conseil quent elle n’offrira pas une plus grande résistance au 33 contraire la poudre enflammée qui pénétrera le fou- 33 rage, trouvera plus d’efpace pour fe dilater, & son » impression sur le boulet ne pouvant se faire que fuc- 33 ceíïïvement d’un bouchon à l’autre, cette impression 33 ne fera pas à beaucoup près si forte que si elle étoit 33 immédiate. A quoi l’on peut ajouter qu’un gros bouchon 33 ou plusieurs rapprochant davantage le boulet de la 33 bouche du canon, il lui reste moins de longueur à 33 parcourir, par conséquent moins de temps pour féce- 33 voir l’impulsion de l’inflammation totale de la poudre; 3i & c’est ce qui a été expérimenté plusieurs fois d’une » maniéré qui ne laisse rien à desirer. n A l’égard de la poudre , lorfqu’elle est réunie dans n le plus petit volume qu’elle peut occuper naturellement, » il ne faut pas penser qu’en la refoulant pour la réduire 3i dans un plus petit espace, elle en acquiert plus d’acti- vité , puisque ce n’est qu’autant qu’il y a des interstices sensibles entre ses grains que le feu dç celle qui s’en- 3i flammera la premiere, peut s’introduire pour allumer le 33 reste. Ce qui est si vrai, que quand elle est battue & r74 Mouvement des projectiles » réduite en pulverain dans une arme à feu, elle ne v s’allume que successivement ; ainsi l’on peut conclure que le seul avantage que l’on tire du bouchon posé » sur la poudre, est seulement de la rassembler dans le » fond de la chambre, & d’empêcher, quand elle est » enflammée, qu’elle ne se dilate autour du vent du » boulet. » Quant au bouchon qu’on met fur le boulet, comme » il ne peut, non plus que le précédent, en retarder la » sortie pour donner lieu à une plus grande inflamma- » don , l’on voir qu’il est absolument inutile, excepté dans » le cas oìi l’on est obligé de soutenir le boulet pour » tirer horizontalement, ou de haut en bas, alors peu » importe qu’il soit refoulé ou non. » 11 íuit des réflexions qu’on vient de vcir qu’en employant des gargousses & le boulet immédiatement » dessus, se contentant s’il le faut, de le soutenir par » un bouchon introduit tout naturellement, le service » du canon en sera plus vif, plus prompt & moins dan- » gereux, parce que les canoniers ne s’arrêtant point à » des manœuvres inutiles, ne feront que peu de temps » exposés devant l’embrasure. » Nous regrettons qu’on n’ait pas fait connoître Fauteur de ce Mémoire , pour lui payer le tribut d’éloges qu’il mérite par la maniéré solide dont il combat la pratique du refoulement. Tâchons de porter le dernier coup à cette pratique, en observant que st le refoulement pro- duisoit quelqu’effet, fut-il même avantageux au tir, dût-il augmenter la force de la poudre, ce seroit une raison de plus pour en proscrire l’usage. Cette assertion ne peut être un paradoxe pour quiconque voudra faire attention DANS L'AIR. 177 que l’objet que l’on doit avoir principalement en vue dans le tir des bouches à feu , est moins la justesse & la force d’un coup isolé, que l’uniformité dans les résultats de plusieurs coups tirés de fuite or en refoulant la charge & le boulet un certain nombre de fois, on ne doit point s’attendre que ce fera toujours avec la même force ; dès- lors pour peu que l’on suppose d’efficacité au refoulement , il ne faut plus compter fur l’uniformité en refoulant plus ou moins fort, le boulet partiroit nécessairement avec plus ou moins de vitesse. II feroit donc bien plus avantageux, la poudre étant renfermée dans une gargousse de papier, de pousser la charge au fond de l’ame, de ne l’y comprimer qu’autant qu’il est nécessaire pour s’assurer quelle est au fond , & de mettre le boulet immédiatement fur la charge , avec un bouchon pardessus refoulé d’un seul coup. Par cette méthode plus simple , plus expédirive, & fur-tout moins sujette aux variations, on ne peut manquer d’approcher de cette uniformité si desirée dans le tir du canon, à laquelle on ne doit point hésiter de sacrifier un surcroît de force, qu’il feroit d’ail- leurs facile de fe procurer à coup sûr en augmentant la charge. Remarque VII. 179. II nous reste à examiner si les variations dans la densité de l’air, résultantes des différentes températures de l’atmofphere , ont une influence sensible sur le -tir du canon. C’est dans son état moyen que nous avons considéré l’air, près de la surface de la terre, & dans une saison tempérée, lorsque nous avons supposé qu’il étoit ij 6 Mouvement des projectiles 850 fois moins pesant que l’eau ; mais il s’en faut de beaucoup qu’il conserve toujours ce degré de densité la chaleur le raréfie, le froid le condense, & , à ne considérer que le plus grand froid naturel & la plus grande chaleur naturelle , les Variations que ces deux causes produisent dans la densité de l’air ne laissent pas d’être assez étendues. Tâchons d’en découvrir les limites. Musschenbroeck renferme ces limites entre 606 & 1000, intervalle, selon nous, beaucoup trop grand car dans nos climats la différence du plus grand froid à la plus grande chaleur est moindre que celle du degré tempéré à la chaleur de l’eau bouillante ; or de l’un à l’autre de ces deux termes le volume de l’air n’augmente que d’un tiers; donc quand même les deux différences dont on vient de parler seroient égales , en prenant ^ pour la densité moyenne de l’air, relativement à celle de Feau, ~ exprimeroit fa densité pendant les plus grands froids, & —-, pendant les plus grandes chaleurs. Nous pouvons donc rapprocher ces limites. M. de Mairan admet pour celles du plus grand froid & du plus grand chaud dans nos climats, les nombres 594 & 1026 , qui correspondent au degré 6 au dessous du terme de la congélation du thermomètre de Réaumur , & au degré 26 au dessus du même terme ; ensorte que si les degrés de raréfaction de l’air étoient proportionnels à ceux de la liqueur du thermomètre, & que 850 exprimât le volume de l’air correspondant au tempéré , ou au nombre 1010, on trouveroit 864 pour son volume pendant les plus grandes chaleurs, & 837 pendant les plus grands froids. Mais l’air se dilate & se condense plus que fesprit-de-vin par les mêmes degrés de chaleur ; puisque DANS l’AÍR, 17 j du tempéré à la chaleur de l’eau bouillante le volume de Pesprit-de-vin n’augmente que d’environ tandis que dans le même intervalle le volume de Pair augmente d’un tiers ; il faut donc prendre des nombres plus éloignés de 850 que ceux que nous venons de trouver pour exprimer la densité de Pair dans les cas extrêmes de fa température on peut s’en tenir aux nombres 785, & 915 réfultans de l’hypothèse que les degrés de chaleur font proportionnels aux degrés du thermomètre ; cette hypothèse donne peut- être trop d’extension aux variations que la densité de Pair éprouve par le chaud & le froid, mais il n’y a point d’inconvénient à être un peu plus au delà qu’en deçà des véritables limites. Supposant donc Pair 915 fois moins dense que Peaii pendant les chaleurs de Pété, Le 785 fois pendant les froids de Phiver, on aura, dans le premier cas , pour lé boulet de 24, log. D = 3,8166977, & dans le second log. D = 3,7501463 ; ce qui donne log; c — 3,820254a pour la moindre densité de Pair, & log. c — 3,7537028 pour la plus grande. Si l’on cherche ensuite quelle est^ avec ces valeurs de c , la portée du but en blanc naturel de la piece de 24, la vitesse initiale du boulet étant de 1420 pieds par seconde, on trouvera, §. 150 ^ que par la seule cause de la densité de Pair, toutes choses bailleurs étant égales , cette portée seroit de 365,2 toises pendant les plus grandes chaleurs, & de 353^4 pendant les plus grands froids de nos climats c’est environ six toises de plus ou de moins que dans le tempéré où la densité de Pair est 850 fois moindre que celle de Peau. Cette différence , qui est très-peu de chose dans la pratique, dif- paroît entièrement lorfqu’on calcule la hausse ou l’anglé 23 r 78 Mouvement des projectiles de mire qu’il faut employer pour tirer à ces distances , on trouve que la maniéré de pointer est exactement la inême; d’où l’on peut conclure qu’il 11’y a aucune utilité à retirer pour le tir du canon de l’observation du thermomètre; d’autant plus que ce n’esl guere dans les températures extrêmes qu’on feroit dans le cas de consulter cet instrument pour le service d’une batterie. Le baromètre peut austì indiquer quelques variations dans la densité de l’air car il n’est pas douteux que d’une plus grande pesanteur de l’atmosphere, doit résulter une plus grande pression fur les couches inférieures & par conséquent une plus grande densité ; mais les variations produites par cette cause sont renfermées dans des limites beaucoup plus rapprochées que celles qui proviennent des divers degrés de chaleur. En effet, que le baromètre varie de 26 pouces 6 lignes à 28 pouces 4 lignes, & qu’à fa hauteur moyenne la densité de l’air soit exprimée par 850, elle le sera par 821,6, à la plus grande élévation du mercure , & à la moindre par 878,4. Ce que nous avons conclu du thermomètre peut donc à plus forte raison s’appliquer au baromètre c’est-à-dire que les variations de cet instrument n’ont point d’influence sensible sur le tir du canon, par les indications qu’il donne de la densité de l’air. On peut d’autant mieux se dispenser d’avoir égard à ces indications, ainsi qu’à celles du thermomètre, que l’air, en augmentant de densité, occasionne aussi dans la poudre une explosion plus vigoureuse & lui donne plus d’activité ; de forte que si d’une part l’air oppose plus de résistance , il arrive en même temps que le mobile reçoit plus de vitesse & plus de force pour vaincre cette résistance. La pesanteur de l’air n’est point la seule cause des variations du baromètre, elles dépendent aussi des diffé- rens degrés d’élasticité dont ce fluide est susceptible car fl dans la couche inférieure de l’atmosphere , toujours comprimée par le poids des couches supérieures, il se répand un certain degré de chaleur , elle augmentera la force élastique de l’air dans cette couche, & fa pression contre les corps environnans, laquelle , agissant fur le mercure du baromètre, le fera nécessairement monter. Mais quelle est l’influence du ressort de l’air fur la résistance que ce fluide oppose au mouvement des projectiles ? C’est, selon ce que nous avons dit ailleurs, §. 110, d’en diminuer la force; parce que l’équilibre rompu par le choc du mobile contre les particules du fluide , est d’autant plus promptement rétabli qu’il est plus élastique , que ces particules s’accumulent moins au devant & refluent plus facilement vers les côtés du mobile ; ainsi le baromètre, en indiquant un air plus dense, peut aussi annoncer un air plus élastique ; c’est-à-dire, d’une part, une plus grande résistance, de l’autre, une moindre, ce qui confirme l’inutilité des observations de cet instrument pour le tir du canon. Nous ne parlerons point ici de la dilatation de lairdans les couches supérieures de l’atmosphere; on fait que lair devient plus rare à mesure qu’il est plus élevé au dessus du niveau de la mer mais il importe peu pour notre objet de considérer cette circonstance ; parce que le tir du canon s’exécute toujours suivant des directions qui ne permettent point au boulet de traverser des couches d’air dont les différentes densités pourroient sensiblement changer la résistance. Nous reprendrons ce sujet lorfqu’il sera question de la projection des bombes. ifgo Mouvement des projectiles Les boulets du même calibre n’ayant pas tous le même poids, la valeur de la lettre D, qui dans nos formules représente le rapport de la pesanteur spécifique ou densité de l’air à celle du projectile , peut varier, l’air restant dans le même état, par la feule cause de la diversité du poids des boulets. La valeur attribuée à ce rapport dans la table VI, §. 133 , est relative au poids moyen résultant d’une pesée faite sur un grand nombre de boulets de çhaque calibre çe poids moyen pour les boulets de 24 a été trouvé de 14,529 livres, les poids extrêmes étant de 24 & de 25 livres. Si le boulet pèse 24 livres, on a D== 5959,74 en supposant le diamètre de 0,4537 pieds , & log. c — 3,7787834; si le poids est de 25 livres, on trouve avec le même diamètre D =2 6208,06 & log. c 3,7965122 ; ce qui ne donne encore qu’une différence presqu’insensible pour les hausses à employer dans çes deux cas extrêmes de la pesanteur des boulets. SHl arrivoit que la plus grande pesanteur du boulet Concourût avec le plus grand diamètre , qui est aussi sujet à varjer si par exemple 011 attribuoit au boulet de 24 le poids de 25 livres & un diamètre de 5 ponces 6 lignes 4 point, ou 0,4589 pieds, qui est le plus grand qu’il puisse avoir, puisque les boulets de ce calibre doivent, pour être admis, avoir passé librement dans unç lunette dont le diamètre est de 5 pouces 6 lignes z -j points, on trouvera L> — 5999,4 & log, c 22 3,7866136 , d’où il ne peut encore résulter qu’un foible changement dans hausse ; & cette différence ne seroit guere plus sensible en faisant concourir les deux dernieres circonstances avec la plus grande densité de l’air. On voir donc que dans les bornes où font renfermés DANS L'AIR. ï8t les poids 8c les diamètres des boulets, ainsi que les différentes densités de l’air occasionnées par le chaud, le froid & la pression de Fatmosphere , ces causes prises ensemble ou séparément, ne peuvent avoir une influence bien marquée sur la maniéré de pointer une piece de canon, c’est-à-dire sur la hausse relative à une charge & une distance données. Ce n’est pas que ces mêmes causes ne puissent produire des différences considérables dans les portées ; mais qu’on ne s’y trompe point, un boulet peut aller plus ou moins loin, il peut tomber à terre à une distance plus ou moins grande , fans que pour cela il manque un but situé en deçà du point de chute, quand même ce but n’auroit que quatre à cinq pieds de hauteur il est, par exemple, tel degré de vitesse qui, portant le boulet de 24 à 400 toises avec une certaine hausse, le porteroit à 410 toises en donnant une ligne de plus à la hausse cependant les deux courbes décrites en vertu de ces deux degrés de hausses ne seroient écartées Fune de l’autre, dans le sens vertical, que d’un pied à 23 5 toises du canon , 6c d’un pied 6c demi à 3 50 ; de maniéré qu’un boulet qui parcourroit Fune ou l’autre de ces courbes , pourroit également atteindre un but situé dans cet intervalle, St qui auroit quatre à cinq pieds de hauteur. Or le changement dans la hausse, qu’occasionneroit la considération des causes mentionnées ci-dessus, ne va pas à une ligne de plus ou de moins à la distance de 330 toises; ce seroit donc mal à propos que l’on voudroit citer ces causes pour expliquer certains écarts du boulet, pour rendre raison , par exemple , de ce qu’à 2 ou 300 toises un boulet a donné 8 ou 10 pieds trop haut ou trop bas une pareille irrégularité ne peut venir ni de la pesanteur 1S2 Mouvement des projectiles du boulet, ni de son volume , Bi de la densité de l’air; au moins quant à Finfluence de ces causes fur la résistance que le mobile rencontre dans l’air; & en supposant qu’elles ne produisent aucun effet sur la vitesse initiale du boulet. Mais à ce dernier égard il arrive souvent des changemens qui ne font point à négliger ; il peut se faire que le boulet, pour être plus pesant, reçoive de la même charge une plus grande vitesse initiale ; & cette vitesse est toujours plus considérable lorsque le diamètre du boulet est augmenté , ou, ce qui revient au même, lorsque le vent du boulet est diminué. Les effets de ces deux causes ayant été suffisamment examinés dans les remarques IV & V , nous y renvoyons pour savoir ce qu’il y a à faire dans les circonstances qui les font naître. Remarque VIII. 180. La pratique du tir du canon présente un effet qui n’avoit point encore été observé, & que Fustige de nos formules a seul pu faire découvrir. Lorsqu’on tire dans une batterie à embrasures ou à barbette, le boulet donne toujours plus haut qu’il n’est indiqué par la théorie. Ce fait ainsi isolé étoit bien propre à donner des soupçons contre la bonté de la théorie que nous avons adoptée on pouvoit dès-lors conclure qu’elle s’écartoit trop de la rigueur géométrique, & qu’il en résultoit des vitesses initiales trop grandes. Mais nous avons vu d’un autre côté que quand on tire en rase campagne sans épaulement, comme cela se pratique pour les pieces de bataille, & que nous l’avons quelquefois éprouvé avec des pieces BANS l’air. 18; de siégé, les résultats de l’expérience s’accordent mieux avec ceux de la théorie. II y a donc une cause qui, pour produire cette différence dans les effets, tient à la position du canon placé dans une embrasure, sur une barbette, ou servi sans aucun épaulement. Cette cause, nous la trouvons dans le résultat d’une discussion que nous avons eu occasion de faire autrefois fur le recul des armes à feu, & principalement dans un mémoire composé en 1767 par M. Brackenhoffer, professeur de l’école de Strasbourg ce mémoire , dont on ne peut trop recommander la lecture , présente, quoique sous le titre modeste de simple opinion, une explication très-satisfaisante du recul il y est dit, suivant une ligne parallèle à Chori^on , ne décline guere de plus d’un pied & demi ou deux pieds avant d'atteindre à 200 toises. Observation. La déclinaison dont il s’agit ici ne peut se compter que de la ligne de mire ou de Taxe du canon de façon ou d’autre elle est toujours beaucoup plus grande qu’on ne le dit dans cet article ; car on voit par la table, qu’à 200 toises & pour le fusil fans bayonnette, la balle est de 12 pieds au dessous de la ligne de mire, Sc par conséquent de plus de 17 pieds au dessous de Taxe du fusil ; la ligne de mire se trouvant à cette distance éloignée de plus de 5 pieds de la direction de. Taxe. Si la bayonnette est au bout du fusil; si elle-est garnie d’une DANS L’AIR. *99 virole, la déclinaison de la balle à l’égard de la ligne de mire sera plus considérable à la même distance ; elle sera de 14 à 16 pieds, quoique toujours la même par rapport à Taxe du canon ; puisque la bayonnette & la virole ne font qu’élever la ligne de mire en la rapprochant de Taxe du canon, sans rien changer à la trajectoire de la balle. 185. Les observations que nous venons de faire ne concernent, comme nous l’avons dit, que le fusil d'in- fanterie conforme au modele de 1777, & dans le cas où la vitesse de la balle est de 1600 pieds, ou la charge de 36 à la livre; il est si facile, fur l’infpection des tables, de les appliquer à d’autres vitesses , & au fusil de l’artil- lerie, qu’il feroit superflu de nous y arrêter. Contentons- nous d’ajouter quelques réflexions qui , quoique l’usage militaire du fusil ne soit pas de notre compétence, ne font cependant point étrangères au sujet que nous traitons. Ce qui caractérise principalement la bonté d’un fusil, eu égard à ses dimensions, c’est qu’elies soient tellement proportionnées qu’on puisse ajuster le coup, de maniéré qu’à une grande distance la ligne de mire s’écarte le moins possible du point que la balle doit frapper , ou, pour mieux dire , que cette ligne ne forte point de l’objet que l'on veut atteindre, fa hauteur étant estimée de 5 à 6 pieds. La distance dont 110ns voulons parler est cependant renfermée dans certaines bornes , & nous ne devons considérer que celles auxquelles on tire communément , soit dans un siégé , soit en rase campagne elle peut aller, dans le premier cas, jusqu’à 180 toises; & dans le second , de 80 à 100 toises. Arrêtons-nous à celle de 160 toises, qui est une des plus grandes auxquelles la défense des places oblige de aoo Mouvement des projectiles tirer c’est à peu près celle du flanc d’un bastion à lâ place d’armes saillante du chemin couvert vis-à-vis le bastion opposé. En supposant au mobile une vitesse initiale de 1600 pieds, & le fusil dégarni de la bayonnette, nos tables indiquent qui si à cette distance on vise un peu au dessus d’un but haut de 5 à 6 pieds, la balle ne manquera pas de l’atteindre ; mais avec la bayonnette & la virole, pour que dans le même cas la balle rencontrât ce but, il faudroit viser plusieurs pieds au dessus , c’est- à-dire dans le vague de l’air, fans avoir de point fixe où la ligne pût aboutir , ce qui rend nécessairement le coup très-incertain. Cet inconvénient augmentera sensiblement, si le but est plus éloigné, ou si la balle a une moindre vitesse initiale» II fuit de là qu’à la distance de 140 à 160 toises, la bayonnette est un obstacle à la justesse du tir; mais comme elle est de toute intilité au soldat couvert d’un parapet, il est à présumer que dans cette circonstance on le dispense d’armer son fusil de la bayonnette, asm qu’il puisse en tirer le parti le plus avantageux , & viser au loin avec justesse & précision. 186. A l’égard de l’usage du fusil en rase campagne, on volt par nos tables qu’à la distance de 80, 100 & même 120 toises, la bayonnette garnie de fa virole n’em- pêche point qu’on ne puisse frapper un objet élevé de 5 à 6 pieds , en dirigeant la ligne de mire fur quelques points de la partie supérieure , quand même la vitesse initiale de la balle ne seroit que de 1400 pieds par seconde. Enfin , la bayonnette & sa virole ne sont vraiment nuisibles à la justesse du tir que lorsque le but a très-peu d’étendue en hauteur car alors tout dépend de la portée de but en blanc, qui, déjà considérablement diminué par DANS L*AIRi 10 1 la douille de la bayonnette , l’est encore plus par f addition de la virole. Nous terminons ici nos réflexions fur l’ufage & les propriétés du fusil s laissant aux personnes plus Versées qna nous dans les détails de Fart militaire, le foin d’en apprécier le mérite, & d’en faire l’application aux différens cas de guerre. II nous reste à parler du tir du mortier* Du tir des mortiers, 187. Si la théorie que nous avorìs employée jusqu’a présent, a eu quelque succès dans son application aù tir dés canons, des obusiers & des fusils, c’est qu’elle est restreinte à des cas de pratique particuliers à ces fortes d’armes, dont le tir est communément horizontal ou ptef- qu’horizontal ; c’est qu’alorS la Courbe décrite par le projectile s’écarte peu de la ligne de mire, & que dans l'é-». tendue de la portée de but en blanc elle différé peu dé la ligne droite. II n’en est point ainsi du tir des mortiers î la bombe projetée fous un angle pltis ou moins ouvert décrit dans fa course uné courbe dont les élémerts ont tous des inclinaisons différentes, qu’il feroit facile de déterminer si la bombe n’étoit soumise qu’à la force ds projection & à Faction de la pesanteur on tróiiVCroit dans ce cas d =o,8íd A = —gdt ; note du §. 28 & la courbe feroit une parabole. Mais puisque çí projectile fe meut dans l’air , son mouvement doit être continuellement retardé par la résistance que ce fluide lui oppose ; il y aura donc une diminution de Vitesse dans le sens vertical & une dans le sens horizontal la premiers fera composée de l’effet de la résistance du milieu & ds 26 Mouvement des projectiles ìoî Faction de la pesanteur ; elle sera exprimée , en nommant R la force résistante de l’air par -t- g d t , & la seconde par R \ on aura donc les deux équa- tions d JQ — R dxd t d s — R d y d t d s g d t ; & d £ = d S , qui reviennent, comme cela doit être, à d Çj-dÇ — — 8 í d — O, lorsque la résistance du milieu est nulle, ou lorsque le mouvement s’exécute dans le yuide. 188. Si l’on intégré ces deux équations en mettant pour R ce que donne la loi de la résistance, relativement à la densité du milieu, résistant à la vitesse, la densité & la figure du mobile, on connoîtra la courbe décrite & toutes les circonstances du mouvement. Mais telle est la difficulté de cette intégration que, depuis Newton qui a ouvert la carrière , on n’a pu encore y parvenir qu’avec le secours des approximations, moyen suffisant sans doute dans bien des cas, mais qui, dans celui dont il s’agit, a eu l’inconvénient de conduire ceux qui l’ont employé à des résultats très-différens l’un de l’autre nous voyons, par exemple, deux solutions de ce problème qui ont paru à peu près dans le même temps fondées l’une & l’autre siir la même hypothèse de résistance, -déduites fl’épreuves faites dans les mêmes circonstances, on devois naturellement s’attendre aux mêmes conséquences ; cependant il résulte de l’une qu’un boulet de 34 porté à toises fous l’angle de 45 degrés, a dû être lancé avec une vitesse initiale de 1393 pieds, & de Vautre avec une vitesse initiale de 1930 pieds, Cette diffé- DANS L’AIR. 'iôj. retìce est trop considérable pour n’être point l’effet d’une erreur qui ne peut avoir sa source que dans l’usage des approximations. Quelqu’élégantes que soient d’ailleurs ces deux solutions , nous croyons par cette feule raison pouvoir nous dispenser de les mettre sous les yeux de nos lecteurs, & nous en tenir à celle du célébré Euler, inférée dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin, pour l’année 1753. Si son application à la pratique entraîne dans de longs calculs, cet inconvénient lui est commun avec les autres solutions celle-ci se distingue sur-tour par le peu d’arbitraire que sauteur y a mis, par la clarté & Texactitude qui caractérisent tous ses ouvrages. 189. Soit donc a le diamètre du projectile sphérique, D sa densité, D' celle du fluide dans lequel il se meut ; — p — sera la force accélératrice de la gravité dans ce fluide ; nous la nommerons k. Nous prendrons auflì c que nous avons déjà employé §. , pour exprimer la loi de la résistance de l’air , & nous ne changerons rien à la valeur qui lui a été attribuée, parce que, t°. jusqu’à la hauteur à laquelle les bombes s’élevent dans le tir des mortiers, que nous avons ici uniquement en vue, la variation de densité de Tair n’est point assez sensible pour y avoir égard. 2°. Le mouvement des bombes n’est jamais assez rapide , du moins après les premiers ìnstans, pour que Tair, en vertu de son élasticité, ne puisse remplir aussi-tôt Tespace qu’elles viennent d’abandonner , ce qui dispense de considérer une plus grande pression fur la partie antérieure de ces projectiles que fur la partie postérieure. 190. Soit maintenant la courbe CNAMH sig. 35 , 'ftcsif Mouvement des projectiles décrite dans Pair par une bombe si A est le point le plus élevé, & l’horizontale BAE la tangente à ce point, CNA fera la portion de cette courbe que le mobile parcourt en montant, & AMH celle qu’il décrit en descendant. Considérons séparément le mouvement dans l’une & l’autre de ces deux portions, & soit pour celle de la descente une abscisse quelconque APn* prise sur l’horizontale, & l’ordonnée correspondante PM = y. Nommons v la hauteur due à la vitesse de la bombe en M , ^ exprimera la force retardatrice de la résistance de Pair au même point, 191. Décomposant le mouvement suivant la direction horizontale AB & la verticale PM, celui-ci sera premièrement accéléré par la force accélératrice de la gravité k ; ensuite, puisque la force retardatrice agit suivant la tangente MT, si nous supposons l’élément M m de la courbe — ds , il en résultera deux forces , dont lune = ~~ s’oppose au mouvement horizontal, ctv i’autre = au mouvement vertical ; donc si on fait l’élément du temps — dt, de forte que d t = ~~ , cet élément étant regardé comme constant, on aura paf les principes de méchanique a d d % V d x ^ n ?. d 'd y- ^ - v d y 41* c d s * d t* c d . r* Puisque d t — Íí- , on a v = , cd qui change les deux équations précédentes en celles-ci —=— TT? & HP = * - M. Supposons ^ ^p d Xì DANS L’AIR, 205 p étant la tangente de l’angle P T M que la direction da mouvement fait avec l’horizon ; à cause de d s — d x Y l + p p , & ddy=dpdx~i~pddx, les mêmes équations deviendront 2 ddx ÍJ ! l/l- P P R, 2 p dd x , î dx dp d C * — C n-' “ 57 * 1 TF~ = k — La premiere multipliée par p & retranchée de la seconde. donne — 4 — ~ == A ; ou k d td 2 d x d p. La premiere donne aussi ~ ^ — L'í - on a donc enfin v = —— c 1 d í 1 kdx 1 +p p ' z d £ * r, ... , Pif t* ,,, . -Ji i dx 192. Puiíque 2 dp — - d ~ x , requation —— — multipliée par d p, donne j ~ xi * * * — ? ^ , dont l’intégrale, à cause de dt constant, est ^ — l dT~ íC? cs dp ^ C 1 d ’ oîl r ° n tire __ if _ dX ~ Ç + - Jdp / I + pp 5 __ Pdp _ dy — c + - c sdp/i+pp ’ dpi/i +pp d s — dx Y ì-L-pp — C+~sd Pi /{i+pp ’ V 2 d x d p __ _ d p _ d 1 = = ^ k y'C+ 7 sdpYii+pp 5 6c v = — = C+ír/^P^Í 1 + PPÌ* Mouvement des projectiles Ltz6 193. La formule intégrale fdp y 1 -4- pp qui entre dans ces expressions, est évidemment un arc parabolique elle peut être exprimée par logarithmes , puisque sdp Yi-ì-pp=ip Y1 -+-pp-i~ï l p-+- Yi-+-ppì sintégrale étant prise de façon qu’elle soit zéro lorsque p = o , c’est-à-dire au sommet de la courbe. Si donc pour un point quelconque de la courbe on connoît sangle que la direction du mouvement fait avec shorizon, & dont la tangente — p, on pourra déterminer l’abscisse A P = x ; l’ordonnée P M s= y ; sarc A M = s ; la hauteur v due à la vitesse, & le temps t employé à parcourir sarc A M. 194. Aségard de la constante C, introduite par sin- tégration, on pourra la représenter par ", n désignant un nombre abstrait. Supposons ensuite pour plus de simplicité f d p Y 1 -1- p p — P, on aura pour la branche descendante AMH les formules suivantes x — cf ; y = c s ih » n + P > S — C f iEJlíldtlll • n + P 1 t / 2_c Y k r - ip — Rr v — l k c C 1 + P P . Ces intégrales doi- J 1/ n + P n + P ° vent être prises de maniéré qu’elles s’évanouissent dans le cas de p = o, d’où l’on volt que la hauteur due à la h c vitesse au sommet A = —, 193. Les mêmes formules peuvent aussi servir pour la branche ascendante AN C en prenant la valeur de p négative ; ainsi pour un point quelconque N de cette branche on aura A Q = c f ^_- p j Q N — cs -pzrfr j AN = c f - F —— ' le temps par sarc AN — DANS l’aIR. 207 s ~ 7 , ip u ~> » & la hauteur due à la vitesse en N == *- - 1 D’où l’on voit que dans la branche ascen- n — P * A dante A N C, l’inclinaison de ses tangentes ne peut aller jufqu’à rendre P ;> n , & que là où P = n la vitesse du mobile seroit infinie. 196. Le mouvement de la bombe & la courbe qu’elle décrit dépendent donc des trois constantes k, c 8 c n, dont les deux premieres font faciles à connoître ; on peut même , dans le cas dont il s’agit, des projectiles de Far- îillerie lancés dans l’air, mettre 1 à la place de k ; parcs que dans fa valeur ? §. 189 la quantité D', qui exprime la densité de l’air, peut fe négliger vis-à-vis de D, qui est la densité du projectile. A l’égard de la troisième constante n, qui dépend de la vitesse imprimée au mobile, comme elle entre dans toutes nos formules, il faut nécessairement les calculer séparément pour chaque valeur de n. içjj. Pour avoir le rayon de la développée de cette courbe, dont la formule générale est d x , on observera que ds = c f dp ^ ~ + í > FP ' > ; d y — p d x - y ^ — —— r , ; ces valeurs étant substituées dans la d p ~~~ n + P formule, on trouvera que le rayon de courbure est + ~p *— — — pour un point quelconque M de la branche descendante ; 8 c — - P - P our k branche ascendante, dans laquelle à l’endroit où P = n , 8 c par conséquent la vitesse infinie §.195» ^ t ay on ào8 Mouvement des projectiles de courbure devient aussi infiniment grand. II est donc évident qu’aux points des deux branches où les tangentes font également inclinées à Fliorizon , le rayon de courbure , ainsi que les autres quantités x,y,s,tSiv font plus grandes dans la branche ascendante que dans la descendante. 198. II suit de là que dans un milieu résistant les deux branches de la trajectoire font dissemblables celle de la descente est plus courbe que celle de la montée ; le mouvement par celle-ci est plus rapide que par celle-là ; ait lieu que dans le vuide tout est égal & semblable de part & d’autre, & à égales distances du sommet ; ce qu’ort peut d’ailleurs aisément déduire des formules précédentes car pour le mouvement dans le vuide la quantité c de- vient infinie, de même que le nombre n , puisque ~ indiquant la hauteur due à la vitesse au sommet A, doit être une quantité finie ; donc P disparûît vis-à-vis de n , & comme onaítti, si on fait — = b , on aura pour le vuide x = 2 b p-, y = b p p; s = ibsdp y 1 -+-pp; /=2pyé;v = éiH-pp,&le rayon de courbure — 2 é 1 -+- p p , ce qui ne convient qu’à la parabole. 199. Une autre propriété qu’on découvre dans la trajectoire décrite dans un milieu résistant, c’est qu’elle a deux asymptotes, l’une verticale du côté de la branche descendante, & l’autre inclinée pour la branche ascendante; sangle que celle-ci fait avec Phorizon est telle que faisant sa tangente = p , on aura P = n, 011 n = ^ y 1 -i-pp -f- ï^p +* Vi * 4 -pp. De sorte que le nombre n est susceptible d’une infinité de valeurs dépendantes de la tangente p de sangle que forme avec shonzoa DAttS L’AÌRi âSY l’asymptote de la branche ascendante. Chacune de ces valeurs constitue une efpece particulière de trajectoire* D’où l’on voir cjue pour faire usage de nos formules, & conhoître toutes les cspeces de courbes qu’un mobile peut décrire dans un milieu résistant, on ne peut se dispenses d’avoir une table qui indique toutes les valeurs de P déduites de celles de p. Pour calculer cette table , on observera que p étant la tangente de l’inclinaison de la courbe à l’égard de l’horizon, on aura , en faisant cet angle — l, p — tang. I ; y/ i -f- pp — sec'. I, & P = tang. I sec. I -+- -j l tang. I -t- sec. I = §. 16 i tang. I sec. I -+- j l tang. 45 0 - 4 - j I ; où il faut prendre les l°g. hyperboliques, en multipliant les log. ordinaires par 2,30258509. Cette table, pour être complette & applicable à tous les angles de projection , doit être calculée pour tous les degrés du quart de cercle ; il conviendroit même , si on vouloir Rappliquer au tir du canon , qu’elle le fùt pour les minutes des premiers degrés. Celle que nous donnerons ci-après ne fera relative qu’au jet des bombes. 200. Chacune des valeurs de P, prise pour valeur dti nombre n , désignera une efpece particulière de trajectoire , & quoiqu’il puisse y en avoir une infinité, il suffira , pour la pratique, d’en fixer un certain nombre relativement à l’espece des projectiles. M. Euler borne ce nombre à dix-huit, en considérant l’inclinaison de >l'asyrn- pre comme croissant de 5 en 5 degrés à compter de 0 ; mais ce n'est qu’un exemple qu’il propose nous verrons que pour le jet des bombes, qui est ici notre principal objet', ces cspeces doivent être plus rapprochées, que celiez %? \ aio Mouvement des projectiles qui répondent à toutes les valeurs de P déduites d’angles au dessous de 55 degrés, nous font inutiles. 201. Revenons maintenant à nos formules , & voyons comment elles peuvent servir à faire connoître la figure de la courbe décrite par le projectile celles qu’on a trouvées pour x, y & t ne font point intégrales ; mais nous remarquons que Tare AM = S peut être exprimé par logarithme car puisque dp Y 1 -ï- p p dP, on aura §. 195 S = c s — c l ; ou il n y a point de constante à ajouter, puisqu’au sommet A où S ~ o, on a aussi Prro. Voilà déjà une formule facile à calculer, qui nous conduira à une construction bien iimple de la courbe. II n’y a qu’à la supposer partagée en un assez grand nombre de portions , pour qu’à l’extré- mité de chacune d’elles la différence d’inclinaison soit très- petite. Soit M m 1111e de ces portions; soit la tangente de l’inclinaison en M — p , 8 c on m — q -, soit aussi sd q Y t q q~'— Q, pour avoir A m — cl ~~ , comme Tl * 4* P cnaAM = c/ —-— ; la portion M m sera donc — cl si+Q ," + P n + Q r . —n - c 1 ~lî~ — c 1 iTT'P* Î>1 on P rencl ensuite une moyenne entre les inclinaisons en M & n qui soit = i, on aura pour la portion P p de l’abscisse qui répond à cet arc, c cos. il j & pour la portion P m —- PM de l’ordonnée c fin. i l - + ^ • enfin rassemblant les sommes successives de toutes ces portions à commencer d u sommet A où l’inclinaison est zéro, on aura DANS t’AIR. 21 * les abscisses & les ordonnées correspondantes pour chaque point M de la branche descendante; on aura de même les co-ordonnées pour chaque point N de la branche ascendante en changeant les signes des quantités P & Q; au moyen de quoi la figure de la courbe est déterminée. 202. A l’egard du mouvement du projectile, puisque la hauteur due à sa vitesse en M est = —- ^ 1 n + P * la vitesse en m viendra de la chute d’une hauteur — , k c + ? ? . p renant jonc une moyenne entre les vitesses résultantes deces deux formules , qui soit = -/ u , le temps employé à parcourir l’arc M m fera = ; ou bien on prendra une moyenne h entre les valeurs + pp à ^ O -+- ?? n + V on aura Y u = h Y \ k c, _ /u i ; n 4- Q — 1 / k ’ h L n + P* & le temps par Tare M m fera Pour avoir ce temps exprimé en secondes, soit g la hauteur de la chute pendant une seconde, le nombre de secondes fera l 1 T On pourra aussi / % k & ’ h n H- P* 1 exprimer les vitesses par l’e/pace qu’elles feroient parcourir dans une seconde; la vitesse en M sera — Y 2 k cg, y'i'+ PP & etl N V 2 kc * 203. Aux logarithmes hyperboliques employés dans ces formules, on peut substituer les logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci par 2,30258509, dont le log. commun est 0,3622156; de forte qu’au moyen de ces logarithmes communs, un arc quelconque M m de la branche descendante sera 2,302585 cl V > & ce Mouvement des projectiles Lir coefficient conviendra aussi aux abscisses & aux ordonnées. La vitesse en M fera exprimée par l’espace y o. k c j7"V'+'F c I u ' e ^ c àit parcourir en une seconde, & le temps par Tare M m fera de \ l —-2 r 1 y ikg • h n 4- P secondes. Ces expressions conviennent également à chaque point N de la branche ascendante , il suffit d’affecter les quantités P & Q du signe — au lieu du signe -f-. 204. II est'aisé de voir à présent que la forme de la courbe dépend essentiellement de la valeur du nombre n; que c’est ce nombre qui en caractérise les différentes especes, & que les courbes résultantes de la même valeur de n font toutes semblables entre elles , quelles que soient les diverses valeurs des quantités k Sl c , qui n’entrent dans le calcul que pour déterminer la grandeur de la courbe fans influer fur son espece. Quant à celles de ces especes que nous avons à considérer pour le tir des mortiers , l’expérience nous a appris qu’elles ne commencent qu’à la va'-eur de P déduite de sangle de 55 degrés, & qu’elles font assez 1 approchées si ces valeurs, ou, ce qui revient au même, si les videurs du nombre n font prises de deux en deux degiés depuis 55° jusqu’à 77, ce qui fait 4ûuze eípeces indiquées dans la table suivante, DANS l’AIR. aí3 TABLE XI. Des valeurs dt n pour les dou^e efpeces de trajectoires relatives au jet des bombes. Efpeces 0 LB Valeurs d u nombre n . Efpeces Angle O LB Valeurs du nombre n . I 55 ° 1,8220670 7 67° 3,8108337 2 57 2,021^1,38 8 69 4,4774403 3 59 2, 9 71 5,3540748 4 61 2,536—55 IO 73 6,3440495 5 63 2,8749043 X í 75 8,235643 6 65 3,2903953 12 77 10,7136370 105. Une autre table qu’il nous faut pour le calcul de nos formules, c’tst celle dont il a été fait mention au §. 196 , & dont la précédente est tirée nous nous contente' ons de donner les valeurs de P de cinq en cinq degrés, il fera aisé de conclure par interpellation ce qui convient aux angles intermédiaires. Cette table subsidiaire indique dans la premiere colonne les angles I ; dans la seconde les valeurs de p , ou tang. I ; dans la troisième les valeurs de y* 1 -4- p p , ou tang. I sec. I; dans la quatrième celles dc / p + Y 1 -hpp — l tang. 4Î -+" á I j enfin dans la cinquième les valeurs da P — i p y x + p p -+- ì l p - /i-ì-/>/>. 214 Mouvement des projectiles TABLE XII. Des valeurs de la quantité P. Angles I. P — tang. I. tang. I sec. I. l tang. 45° + jI. P 0° 5 0,0874817 0,0878229 0,0873773 0,0876001 10 0,1763270 0,1790471 0,1754259 0,1772365 15 0,2679492 0,2774014 0,2648421 0,2711218 20 0,3639702 0,3873290 0,3563784 0,3718537 0,4663077 °5 I 45'36 0,4508752 0,4826944 30 0,5773503 0,6666666 0,5493059 0,6079863 35 0,7002075 0,8390 996 0,8547958 0,6528363 rO,7538161 40 1,0953666 0,76290 3 0,9291380 45 1,0000000 1,4142136 0,8813232 1-147794 5° t,1917536 1,8540400 1,0106827 1,4323614 55 1,4281480 2,489900 0 1,1542341 1,8220670 ÓO 1,7320508 3,4641020 1,3165572 2,3903296 65 2,1445069 5,0743371 1,5064535 . 5-29095 70 2,7474774 8,0330855 1,7354146 4,8842500 75 3,7320508 14,4195400 2,0275887 2,4362452 8,2235643 80 5,6712818 32,6596153 -7-547902 206. A l’aide de ces deux dernieres tables , il fera aisé de calculer nos formules , de trouver les valeurs des quantités s , x , y , y v 8 t t , pour chaque efpece de trajectoire , & pour tous les angles que la direction du mouvement fait avec l’horizon. Si l’on prend ces angles de cinq en cinq degrés, l’approximation fera suffisamment exacte pour la pratique on supposera donc la courbe DANS L AIR. 2IJ divisée en parties telles que la différence d’inclinaison des tangentes menées aux deux extrémités de chaque portion N/! de la branche ascendante, ou M m de la branche descendante , soit de cinq degrés ; de forte qu’à compter du sommet A, les angles d’inclinaison aux deux extrémités de la premiers seront o & 5 degrés ; pour la seconde portion ils seront de 5 & 10 degrés ; pour la troisième de 10 & 15 degrés , & ainsi de fuite. Dans la premiers portion on aura 1 de i° 30' ; dans la seconde de 7 0 30' dans la troisième de 12.° 30' &c. Cela posé, nous allons donner quelques exemples du calcul des formules , en rappliquant à la premiers espece de trajectoire, dans laquelle n=z 1,8220670. Calcul de la formule c 1 " — ^ui donne les Ang. n - P arcs AN, Á M. Branche ascendante. l n~ P * S O 1,8220670 0,2605644 0,0000000 0,0000000 5 1,7344669 0,2391660 0,0213984 0,0213984 ÎO 1,6448305 0,2161211 0,0230449 0,0444433 r; 1,5509452 0,1905865 0,0255346 0,0699779 &c. &c. &c. &c. n -4- P Branche descendante. n ~h O /- 4 -P + P S 0 1,8220670 0,2605644 0,0000000 0,0000000 5 1,9096671 0,2809577 0,0203933 0,0203933 10 1,9992035 0,3008787 0, 0,0403143 *5 2,0931888 0,3208084 0,0199297 0,0602440 &c. &C. &C. . . &c. or d. ord. Q N. 0 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 ï 0,0213780 0,021 3780 0,0009334 0,0009334 ÏO 0,0228487 0,0442267 0,0030081 0,0039415 0,0249293 0,0692560 0,00552 67 0,0094682 Branche descendante. l'og. des port. d’abs. log. des port. d’ord. 0 0,0000000 0,0000000 0,0000000 5 8,3094875 ajoutant 8,3090740 ajoutant 6,9491671 10 8, i°/ 8,2965797 2°/ 7,4150088 t. 8,2995008 8,2890823 7,6348376 DANS L AIR. 217 Ang. I.° portions d’abf. abs. A P. portions d’ord. ord. P M. O 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 5 0,0203739 0,0203739 0,0008895 0,0008895 10 0,0197961 0,0401700 0,0026002 0,0034897 0,0194677 0-2596377 0,0043136 0,0078033 On multipliera pareillement ces abscisses & ordonnées par 2,302585c pour avoir leurs valeurs réelles. Calcul de. la formule ]/ 2 k c g llfp j , dorme la vitesse. Branche ascendante. //—P 1 Y{i +pp yi+ P p V»-p dont les nòmbres 0 ó ^0 CO U U 0,0000000 9,8697178 0,74083 5 0,1195830 0,0016558 9,8820728 0,76221 IO 0,1080605 0,0066485 9,8985880 0,79175 r; 0,095293-2 o,ôi 50562 9,9197630 0,8313s Branche descendante. lYn + P l Vl+pp ss 1- temps par j N n 0,OOOQOOOÌ 0,028473 5l 0,0581344! 0,08960023 pour le 1 temps par A N Brancht descendante. h Ih \/> 4 +p 3 0 0,00000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 5 0,73361 9,8654652 8,3094875 8,4440223 10 0,72433 9,8599365 8,2993m 8,4593746 -5 0,71956 9,8570670 8,2995008 8,44*4338 DANS l’AIIU 1l 9 Ang. I n + Q I. h l n + P 0 r 0 0 0 0 0 0 0 d pour le o,ooooooon 5 0,0277986/ 0,027798 6 r pour le 10 \ 0,02750 271 temps par M m 0,0553013 s temps par AM 0,0276971 0,0829984 tes derniers nombres étant multipliés par C , on aura le temps employé à parcourir chaque arc AN & A M. C’est en continuant ces calculs que nous avons complété ce qui concerne la premiere espece de trajectoire nous en donnons ci-après le tableau pour servir de modelé au calcul des autres efpeces , que nous invitons nos lecteurs à faire eux-mêmes; ils se refuseront d’autant moins à cet utile travail, qu’ils seront sûrs de trouver dans les résultats des réponses satisfaisantes à toutes le* questions que l’on peut proposer sur le jet des bombes. Dans ce tableau chaque case, excepté celles des vitesses , renferme deux nombres, dont l’inférieur est donné írhmédiatement par le calcul de la partie variable de nos formules ; en les ajoutant successivement on a les nombres supérieurs qui dans chaque colonne ont pour coefficient ou facteur commun le nombre qui est en tête de cette colonne ; & ces nombres ainsi multipliés expriment la quantité désignée auhaut de la colonne. Ainsi, par exemple, dans le tableau suivant, le produit 2,301585 c x 0,3651787 exprime pour la branche ascendante la valeur de l’abscisse qui répond àl’inclinaison de 45 degrés, & la vitesse pour cet angle de projection est y ikcg X 1,72215. *io Mouvement des projectiles 207. Si on veut construire une de ces trajectoires pour en connoître la forme, il suffira d’employer les nombres supérieurs des cases de la troisième & de la quatrième colonne , qui indiquent les valeurs des abscisses & des ordonnées le tracé de cette figure, très-facile à exécuter, auroit de plus l’avantage de faire connoître l’abseisse correspondante à une ordonnée quelconque donnée , & suppléerait le calcul des interpellations qui ne laisse pas d’ètre compliqué. La figure 35 représente la trajectoire de la troisième espece ; ellé est construite sur une échelle telle quç si on divise par 8 le nombre des pouces de chaque dimension de la figure, & qu’on multiplie le quotient par 2,302585 c, on aura la dimension réelle en pieds. On pourrait aussi, fur le même axe, construire la courbe des vitestes , & celle des temps; mais çlles ne feraient pas d’une grande utilité pour la pratique. DANS L’AIR. 221 TABLE XIII. 208. De la premiere espece de trajectoire des bombes. Branche ascendante. Incli. en K Arc AN 2, Absc. A Q 2,302585. c Ord. QN 2,302585. c Vitesse en N V'tLkCg Tem. par A N 2,^01585. / c V ' 1 k % O d 0,000000 21398 0,000000 21378 0,000000 933 0,74083 0,000000 28473 5 0,021398 23045 0,021378 22848 0,000933 3008 0,76221 0,028473 29659 10 0,044443 25535 0,044226 24929 0,003941 552-7 0 , 79 I 75 0,058132 3-465 "5 0,069978 29165 0,069155 27815 0,009468 8770 0,83133 0,089597 34011 20 0,099143 345 3 1 0,09697° 31902 0,018238 13214 0,88369 0,123608 37593 25 0,133674 42654 0,128872 37834 0,031452 19695 0,95340 0,161201 42625 30 0,176328 55574 0,166706 46871 0,051147 29861 1,04796 0,203826 49863 35 0,23 1902 77856 0,213577 61768 0,081008 47396 I,l8lI3 0,253689 60764 40 0,309758 121981 0,275345 89934 0,128404 82409 1,38146 0,3 -4453 78604 45 o, 43-739 238100 0,365279 160858 0,210813 -75545 1,72225 0,393057 112995 50 0,669839 0,526137 0,386358 2,49209 0,506052 an Mouvement des projectiles Suite de la TABLE XIII. Branche descendante . încli. en M Arc A M. 1, Abs. A P 2, 1, Vitesse iTem. par A M en M 11, /'i kg 0,000000 10393 0,000000 20374 0,000000 890 0,74083 0,000000 27799 5 0,020393 19921 0,020374 •9796 0,000890 2600 0,72640 0,027799 27581 10 0,040314 19930 0,040170 9457 0,003490 43 4 0,71814 0,055380 27802 ; 0,060244 20413 0,059627 19468 0,007804 6138 °» 7*557 0,083182 28469 20 0,080657 21405 0,079095 9775 0,013942 8191 0,71846 0,111651 29621 25 0,102062 22990 0,098870 20393 0,022133 10616 0,71679 0,141272 3 33 30 0,1*3032 23310 0,119163 21347 0,032749 3599 0,74073 0,172603 33717 35 0,150362 28597 0,140610 22687 0,046348 17409 0,76063 0,206320 36055 40 0,178959 33213 0,163207 24487 0,063757 22438 0,78702 0,243275 413*9 45 0,212172 _ 3973 $ 0,251911 4912c 0,187784 26847 0,086195 2929S 0,82063 0,284594 47224 5 ° 0,21463 29902 0,’ 5493 38969 0,86237 0,331818 553 2 5 "55 0,301031 . 62935 0,244533 33815 0,154462 53 ° 7 S 0,91330 0,387143 66677 60 0,363966 84101 0,278348 38833 0,207541 74598 0,97446 0,453820 83229 65 0,448067 117854 0,317181 I 45101 0,282139 10888; 1,04649 0,537049 108345 70 0,565921 0,36228^0,391022 1,12903! 0,645394 * En examinant dans e tableau U colonne des vitesses dans la DANS L’AIR, a*j 209. Pour faire usage de ce tableau, il faut connoître les valeurs des quantités qui font en tête de chaque colonne , relativement aux différentes espèces de bombes on les trouvera dans la table suivante, dans laquelle on a supposé k = 5 1. branche descendante, on volt qu’arrivé au sommet de la courbe, le projectile n’a point encore atteint sa plus petite vitesse, & que ce n'est qu’après avoir parcouru un certain espace en descendant, que cette vitesse est un minimum. La cause de cette singulière propriété ne peut être attribuée qu’à la résistance de l’air, puisque dans le vuide, c’est au sommet de la courbe, alors parabolique, que la vitesse du mobile est 1a plus petite en effet, lorsque dans l’air il est arrivé i ce sommet où sa direction est horizontale, la vitesse peut encore être diminuée par la résistance du fluide , sans le concours de la pesanteur ; 8t comme pendant les premiers instans suivant l’action de la pesanteur est moindre que celle de la résistance de l’air, la vitesse, par cette derniere cause, continue de décroître, & ne parvient à son minimum qu’à une certaine distance du sommet de la trajectoire , où l’on ip = -ì- — 4 peu près. II en est de même 8t par la même raison du rayon de courbure; te n’est point au sommet qu’il est le plus petit, mais dans la brancha I descendante, au point où p = 3 n De là il est clair qu’il y a une espèce de trajectoire où le point de la moindre vitesse Sc celui de la plus grande courbure peuvent coïncider ; que dans celles qui ont n plus petit, le premier est plus près du sommet de la courbe que le second, 8c au contraire, quand n est plus grand, ce qui arrive dans les douze espèces que nous considérons pour le jet des bombes ; mais il suffit d’avoir remarqué cette propriété qui n’est qu’un objet de curiosité, saut utilité pour la pratique. 224 Mouvement des projectiles TABLE XIV. Espèces des bombes. Log. de 2,102585. r Log. de Y 2 cg Log. de 2,502585 / 25 /-I82Ì , ^\i2o de 12 po. jp/ S l 7 i 150 de 10. 4,3574986 4,341-463 4,3 112892 4,2565651 4,23 5 2880 4,0517819 2,7326449 2,7297688 2,7145402 2,6871782 2,6765396 2,5847866 1,6148536 1,6119775 1,5967489 1,5693868 1,5187483 1,4669953 de 8. 210. Cela posé, s’il est question de connoître foutes les circonstances du mouvement d’une bombe projetée fous un angle donné, par exemple fous sangle de 45 degrés qui est le plus usité, & qu’il s’agisse de la premiers espèce de trajectoire à parcourir par une bombe de 12 po. pesant 180 livres; on volt d’abord qu’il faut imprimer à la bombe une vitesse initiale exprimée par 1,72225 x pi. Y 2 cg — 924,41 ; ce que l’on trouve facilement en ajoutant le log. de 1,72225, avec celui de Y 2 cg donné dans la derniere table. La portion de l’amplitude horizontale qui répond à la branche ascendante , est 0,365279 x 2,302585. c =3 pî. to. 8023,6 — 1337,26. Le temps employé à parcourir la branche ascendante jusqu’au sommet de la courbe est 0,393057 X — 16",08 5. dans l’air; âi j Enfin, la plus grande hauteur du jet est 04210813 pi. to. X a,302585. c = 4636,7 = 771,6. A l’égard de la branche descendante, si la projection se sait sur un tcrrein horizontal , elle doit avoir la même hauteur , ou la même ordonnée 0, que la branché ascendante on cherchera donc dans le tableau de cette branche descendante l’absciiTe qui répond à l’ordonnée 0,210813 ; on voit qu’eìle est entre les angles de 60 & 65 degrés, & on trouvera par la méthode des interpolations que cette abscisse est 0,280666, & répond à un angle de 6o° 15’ ; que la vitesse àu point de chute est représentée par 0,97480 ; & le temps employé à parcourir lá branche descendante j par 0,457814. Ces nombres étant multipliés par leurs coëfficiens respectifs, on aura pi. to. 6152,6 — 1025,43 pour la partie de l’amplitude de hi pi- branche descendante; 523,22 pour la vitesse finale, & 18",83 5 pour le temps de la descente. En résumant, on conclura qu’une bombe de 12 polices; pesant 180 livres, parcourra une trajectoire de la première espece , si elle est projetée sous sangle de 45 de- pi. grés avec une vitesse initiale de 924,41 ; to. La portée horizontale fera de 2362,7 ; to. La plus grande hauteur du jet fera de 771,8 ; Le temps du trajet de 34 ",82 ; H Mouvement des projectiles P'- La vitesse finale de 523, ; Et sangle de chute de 6o° 15' *. * Des interpolations. La méthode des interpolations est d’une st grande utilité dans les recherches pbystco-mathémaîiques , que nos lecteurs nous sauront sans doute gré de îa leur faire connoître. Voici en quoi elle consiste n, P > q y r, &c. Si l’on a deux séries . f _ dont les termes se cor- a , b , c , d , c t & c. respondent suivant une loi connue; que x soit une quantité donnée entre deux termes quelconques de l’une de ces séries, il s’agit de trouver dans l’autre la valeur de la quantité y correspondante. On aura cette valeur avec d’autant plus de précision qu’on emploiera, pour la déterminer, un plus grand nombre de termes dans chaque férie; ce qui donne lieu à différentes formules. Si on ne prend que deux termes, on supposera qu’ils font formés faisant une loi qui donne y =/ -+• g x ; st on en prend trois , on supposera v—/*4- gx + b x 5 ; pour quatre y =/ + g x + k x* + k x 1 , ïk ainsi des autres. Si x étoit un terme de la premiere férie, il est évident que y feroit le tonne correspondant de la seconde ; supposant donc. .v cgale successivement à chaque terme employé de îa série qui le renferme . on aura autant d’équations qu’il y a de cvs termes employés, nu moyen de quoi on trouvera la valeur des indéterminées /, g , h-> & c. Soit donc dans îc cas de deux termes, x = m , x — n y on aura les deux équations /’+• g m~a; /-f gnzzl> qui servent à déterminer f & g. Dans îe cas de trois termes, supposons .r — m , x~ n,x~p,on nura les trois équations f + g m - f h m - — a ; f -b g n -h h n 2 = £ ; f' h SP - f 'Jip z =c, par lesquelles on déterminera/, g, h. opé^nt de même pour les autres cas, on trouvera, DANS l’AIR. 227 211. En appliquant le calcul aux autres espaces de trajectoires , & pour chaque espace de bombes, les mêmes Pour le i^.y = °.343 370 2 8 0,681 402 3 > 0,817 704 438 3 10 ^ o,92 463 3 I0 ; 1,000 893 468 Mouvement des projectiles 238 Suite de la TABLE XVI. Charges Portées Rapport des cliarges à la chambre. Vitesses poudre. horizontales. initiales. Bombes de 8 po. pesant 44 livres. Chambre{p rosondeur {sous la' bombe diamètre.. .. L 218. II est visible que ces portées ne suivent , dans leurs progrès, aucune loi régulière, telle qu’on devroit l’attendre de celle qui régné dans les charges qui les ont produites tandis que celles-ci prennent des accroiffemens égaux,les autres, toutes choses d’ailleurs égales, devroient auffi augmenter, mais avec des différences décroissantes. Quoique ce caractère manque aux résultats de nos épreuves, il ne fera pas difficile de les y ramener, si l’on considéré que parmi les portées obtenues avec la même charge , celle-là approche le plus d’être la véritable , qui est la plus longue ; car il n’esl pas douteux que si Feffet d’une charge est altéré par quelque cause que ce soit, ce ne peut être qu’en moins, si ce n’est peut-être dans le cas où par certains accidens la bombe seroit obligée de suivre une autre DANS L’AIR. 139 direction que celle du mortier. II n’est pas moins évident que, si parmi plusieurs portées résultantes de la même charge, il s’en trouve d’égales , ou à-peu-près égales entr’elles, elles doivent être regardées comme étant le véritable effet de cette charge cette présomption est sondée sur cette autre, qu’il n’est point vraisemblable que, quand une cause est soumise à des accidens , il n’y ait des variations dans ses effets. Cela posé, on trouve dans les résultats de nos épreuves des points fixes d’où l’on peut partir pour rectifier les irrégularités qu’on y apperçoit. En alongeant des portées trop courtes, en conservant celles qui, par les raisons que l’on vient de déduire , paroiffent avoir été obtenues fans le concours d’aucun accident, on établira entr’elles la loi dont elles se sont écartées dans les épreuves, & pourront ainsi servir de prototypes dans la pratique ; on pourra donc , à la place de la derniere table , substituer celle-ci, & l’employer avec confiance pour régler les charges qui conviennent à des portées données, & réciproquement. *40 Mouvement des projectiles TABLE XVII. Des vîteffes & des portées rectifiées , résultantes dt différentes charges de poudre à chaque efipece de bombes ; L'angle de projection étant de 45 degrés , & la poudre de 104 toises. Charges. Portées. Vitesses. Mortier de 11 po. 1. to. pi. I 19*7 197 346 264 2 462 311 2 j 569 3'2 3 647 380 3 ì 710 402 ' Mortier de 10 po. à petite chambre . I. on. to. P i. I 3 11 249 1 8 482 322 2 640 380 CO d 764 424 3 860 439 3 IO Ê 960 492 Charges. Portées. Vitesses. Mortier de I o po. à grande chambre. 1. on. to. pi. 1 230 212 i 8 412 292 2 568 352 2 8 oco 397 3 802 436 4 1035 3-8 5 "39 33 - 6 2-ì- 1200 58 6 Mortier de 8 po. on. to. 5 -73 184 IO 397 297 '3 587 380 20 642 403 219. Les portées & lcs vitesses de cette table étant relatives à une espece de poudre , dont la qualité est indiquée par la portée de 104 mortier d’épreuve, / BANS L’AIR. M? ©n ne peut l’employer utilement dans la pratique qu’au- tant que l’on connoîtra la qualité des poudres dont on est dans le cas de se servir il faudra donc savoir quelles font les vîteííes qui résultent de différentes especes de poudre, comparativement à celle que communique la poudre de 104 toises, ce que l’on trouvera, s’il s’agit, par exemple , d’une poudre de toises, par l’analo- gie suivante la racine quarrée de 104, est à celle de 120, comme la vitesse résultante de la premiere espece de poudre pour chaque charge , est à la vitesse résultante de la seconde avec la même charge. Yoyez les art. 57 Sc 174 . C’est sur ce principe qu’a été calculée la table suivante , qui indique les vitesses communiquées par différentes charges, avec quatre especes de poudre ; savoir de 90, 100, 110 & 120 toises, auxquelles on a cru pouvoir se borner, parce qu’il est facile d’en déduire les vitesses qui proviendroient des qualités intermédiaires. »42 Mouvement des projectiles TABLE XVIII. Des vitesses des bombes résultantes de différentes charges de poudre , dont la qualité ejl indiquée par les portées du mortier à éprouver les poudres , chargé de 3 onces. Especes de mortier. Charges de poudre. Portées to. 90 du mo to. 100 'tier d’é to. IIO jreuve. to. 120 Vitesses initiales des bombes. 1 on. pi. pi. pi. Z » 183 193 203 213 I 8 246 239 272 284 de 12 po. 2 » 289 305 320 334 2 8 327 343 362 378 3 368 387 406 425 3 8 374 394 413 432 I ,» 197 208 218 228 X 8 271 286 300 312 de 10 po. 2 7 » 327 343 362 37 » à 2 8 369 389 408 426 grande 3 » 407 429 449 469 chambre. 4 » 482 508 535 336 5 M 539 363 59 1 6 2 * 543 575 604 629 I 1» 237 250 262 274 de 10 po. I 8 300 316 33 1 346 à 2 » 333 373 391 408 petite 2 8 394 416 436 45 5 chambre. 3 7 427 450 472 493 3 10 i 438 482 506 528 S 171 180 189 198 ÌO 276 29I 305 3-9 de 8 po. '3 353 373 391 408 20 373 395 414 433 DANS L’AIR. 243 Terminons par quelques applications des dernieres tables, à la pratique du jet des bombes, & voyons d’abóxd quelle doit être la charge du mortier de 12 pouces, pour que la portée soit de 500 toises, avec dp la poudré de, 115 toises ? On trouve par la table XV, que pour la bombe de >2 po. pesant 150 1., la portée de 500 toises suppose pi. une vitesse initiale de 325 69, qui est entre les deux vitesses 278 & 327, relatives, dans la table XVIII, à la, poudre de 115 toises, & résultantes des charges de i 2 I. ; or, on trouve par la méthode des interpollatipní, que cette vitesse provient d’une charge de x L 15 on. 6 gr. C’est donc avec cette chargé qu’il'faut tirer le mortier de 12 po. fous l’angle de 45 degrés-, pour avoir la portée de 500 toises, la poudre étant de n; toises. Si c’est avec de la poudre de 1Ò4 toises qu’on veut obtenir ía même portée de 500 toises, on trouve par la table XVII, qu’il faut une charge de 2 1 . 4 on. 7 gr. On demande quelle fera la portée du mortier de 10 po. à petite chambre, la charge étant de 2 1. d’une poudre de 120 toises ? La table XVIII fait voir qu’avec cette charge & cette qualité de poudre , la vitesse initiale est de 408 pi., qui répond , dans la table XV, à une portée .de 720 toises. Les autres applications que l’on peut faire de ces tables font trop faciles pour nous y arrêter. D’aìlleurs., nous nous prqposons de donner, d’après la même théorie, un traité purement graphique du jet des bombes, au moyen duquel il suffira d’employer le compas & un calcul très- simple, pour résoudre toutes les questions concernant cette partie de la baltistique. 'S4 4 Mouvement des projectiles Des causes d!irrégularités dans le tir des mortiers. .ail» Une cause d’irrégularité toujours existante dans Je mortier, c’est le vent de la bombe, ou la différence entre son diamètre & celui de Famé du mortier cette différence, dans l’état primitif de Farme, est, pour chaque calibre, de'-T li. 6 pts. ; dé forte que, quand même la bombe seroit placée centriquement dans le mortier, elle pourroit s’écarter de la direction de l’axe d’environ 9 points’, pendant qu’elle parcourt la partie cylindrique de l’arne, & fans qu’ìl y ait de choc contre les parois; c’est- à-dire, qu’amvée à la bouche du mortier, cet écart de la bombé pourra être .d’un 192 e . de la partie cylindrique pour le mortier de 11 po. ; d’un >60". pour le 10 po., St d’un .-t 28'. pour .le-8 po. ; abstraction faite de renfoncement . de la bombe dans la chambre. $i l’écart a lieu dans le sens. horizontal, ce fera dans de même rapport avec la portée que la bombe déviera à droite ou à gauche de la vraie direction. Si, comme il plus fréquemment, cét écart fe fait dans. le sens vertical ^ Lc qtie l’on tire fous Fkrigle de grande portée j ou à peu près, il n’en résultera aucun changement fénfiblè à la pbrtée ; parce qu’en général les quantités qui avoisinent un maximum n’en différent point sensiblement. C’est par cette raison auísi que, quand on tire fous un tel angle';-ce seroit perdre inutilement un temps précieux de vouloir donner le degré avec précision ; un degré’ de plus ou dé moins ne pouvant dans ce cas proâmré d’erreurs' remarquables dans la portée. Si, ayant de sortir du mortier, la bombé rencontre les DANS L’AIR. 14J parois de l’ame, la déviation pourra être plus considérable , en raison inverse de l’espace qu’elle aura parcouru à l’instant du choc , comparativement à la longueur de la partie cylindrique de l'ame c’est-à-dire, que si cet espace est, par exemple, le tiers de la partie cylindrique, la déviation pourra être triple, si le choc est latéral, de ce qu’elle étoit dans le premier cas ; elle fera à peu près la même que si cette partie cylindrique étoit réduite au tiers de fa longueur, ou si elle se terminoit à l’en- droit du choc. Dans le cas où cet accident arriveroit dans le sens vertical, il faudroit que la direction de la bombe fût élevée óu abaissée de plusieurs degrés , pour que la longueur de la portée en reçût un changement notable. La maniéré de se servir du quart de cercle pour pointer le mortier, peut aussi influer sur la direction des bombes .& produire des erreurs si l’instrument qu’on emploie porte un fil à plomb pour indiquer le plan vertical dti ânortier,- il est clair qu’une erreur quelconque dans le ^parallélisme entre le fil & ce plan, occasionnera dans celui-ci une déviation dont le rapport à la portée fera îè thêmé que celui du défaut de parallélisme à la longueur du fil. Et fi en outre cet instrument est garni d’une alidade, à travers-laquelle; il fàut. viser pour diriger le plan vertical dû'Jmortìer sur l’objet qu’ou. veut battre, il pourra se faire que le rayon visuel passant par la fente de la pinnule, ne la partage point en deux également ; d’où , à raison de ^épaisseur del’alidade, il résultera une erreur qui influera dans le même rapport fur la direction de là bombe. Parmi les causes d’irrégularités auxquelles le tir des '*46 Mouvement des projectiles bombes est sujet, il en est une, le vent ou l’air agité, dont l’effet est quelquefois assez sensible pour mériter quel- qu’attention il est certain qu’un mobile qui traverse l’air doit y éprouver des variations, non-feulement à raison de la résistance que l’air oppose à son mouvement, mais cause de l’impulsion qu’il y reçoit si ce fluide est lui-même en mouvement. L’impulsion continuelle du vent contre une surface doit lui communiquer d’instant en instant de nouveaux degrés de vitesse ; de même que la pesanteur en communique aux graves dans leur chûte c’est une force accélératrice analogue à la pesanteur , 8c qui produiroit sur les corps qu’elle sollicite au mouvement, exactement les mêmes effets que la pesanteur si elle étoit équivalente au poids de ces corps ; sinon, on pourra dire que le poids du mobile sollicité au mouvement par l’impulsion du vent, est au poids équivalente à la force de cette impulsion , comme l’effet de la pesanteur, ou l’espace qu’elle feroit parcourir dansun certain temps , est à l’effet de l’impulsion du vent, ou l’eíjfece qu’il feroit parcourir dans le même temps. Si c’est un corps sphérique qui est exposé à cette impulsion , il en résultera la même force que contre la surface du grand cercle de la sphere. Soit donc C ce grand cercle ; P le poids du corps ; / la force d’impulsion du vent ; E l’efpace qu’elle fait parcourir dans le temps t ; & h la hauteur de la chûte des graves dans le même temps , on aura f x C pour la force exercée, contre ,1? surface C ; par conséquent E — x D' Pour employer cette formule à la recherche de la déviation des bombes par faction du vent, il faut con- BANS^AIR. 247 noître le poids de la bombe pour avoir P, & son diamètre pour en déduire la valeur de C ; la premiere des deux tables suivantes indique les valeurs de s, relativement aux différentes vitesses du vent, ou la force de son impulsion contre une surface d’un pied quarré. La seconde table donne les valeurs de h, ou la hauteur de la chute des graves pendant le temps indiqué dans la premiere colonne ; on trouve ce temps par la table XV, lorsqu’on connoît la portée sous l’angle de 45 degrés. A l’égard de la vitesse du vent, nous renvoyons aux ouvrages de physique pour la maniéré de la mesurer. TABLE XIX. Force d'impulsion directe du vent contre une surface d’un pied quarré. Vitesse Force Vitesse Force Vitesse Force duvent. d’impulsion. duvent. d’impulsion. duvent. d’impulsion. pi. 5 10 *5 20 liv. °,°35 0,140 0,3x1 0,560 pi. a 5 30 35 40 liv. 0,875 1,260 1,715 2,240 pi. 45 5 -> 55 60 liv. 2 , 8 35 3,500 5,000 4§ Mouvement des projectiles dans l’aír» TABLE XX. Hauteur de la chûte des graves. Temps. Chûtes. Temps. Chûtes. Temps. Chûtes, sec . pi. sec. pi. sec . p> I is>- 12 L172 24 8688 2 60,4 14 2956 26 10196 4 24, 6 16 3861 18 11825 6 543 , 6 , 18 4888 30 13575 8 1-65 20 6033 32 15445 1 10 1508 22 7300 34 17436 Soit par exemple une bombe de 12 po. pesant 150 liv. tirée sous l’angle de 45 degrés, fk portée à 600 toises par un vent dont la vitesse est de 40 pieds, & dirigé perpendiculairement à la ligne de tir le diamètre de la pi. bombe étant de 0,98611, la surface de son grand cercle est de 0,76373 de pied quarré; la vitesse du vent étant de 40 pieds , donne une force d’impulsion de 2,24 contre un pied quarré, donc/ x C =2 1,7107. La table XV fait voir que pour une portée de 600 toises, le temps du trajet est d’environ 16 secondes, ce qui donne h — a , . ta l . / x C pi. to. 3861 p>. Donc L = — x h — 44,035 ou 7,339; c’est dans ce cas la déviation de la bombe. C’est auffi la quantité dont la portée est alongée ou raccourcie, si le vent pousse la bombe par-derriere ou par-devant. Enfin, fi la direction du vent est oblique à la ligne de tir, la portée fera augmentée ou diminuée dans le rapport dw sinus total au sinus de l'obliquité. APPENDICE. Tout ce qui peut contribuer à donner des notion* exactes touchant les effets de la poudre dans les armes à feu , devant intéresser nos lecteurs, nous ajoutons quelques réflexions que nous fîmes en 1776, à l’occasion d’une nouvelle forme proposée alors pour les chambres des mortiers , mais fondée fur des bases íi contraires aux Vrais principes de la physique, que nous crûmes devoir les rectifier. Réflexions fur leS chambres des mortiers * 22,2,. La chambre d’un mortier présente deux objet» à considérer sa forme, & le diamètre de son ouverture. La premiers doit être telle-, qu’il en résulte la plus prompte inflammation de la charge de poudre j & de la seconde , la plus forte impulsion contre le projectile , suivant la direction de Taxe du mortier» Pour remplir la premiere de ces deux conditions j ' il faut que toutes les parties des parois intérieures de la chambre soient le plus rapprochées qu’il est possible du centre d’inflammátion, 8 c à des distances' égales dé ce centre ; de forte que les patois de la chambre devroient former la surface d’une sphère, ou portion de sphere, qui auroit pour centre le point d’où le feit est communiqué à la charge de poudre ; mais il est évident qu’à bien des égards, les chambres des mortiers ne font point susceptibles d’une pareille configuration , & que, pour se procurer d’autres avantages plus réels', oh est obligé 12 Appendice. de-renoncer à celui de la plus prompte inflammation que procureroit la forme sphérique telle qu’on vient de la considérer. D’autres circonstances doivent donc ici être prises en considération. Examinons d’abord quelle est la maniéré d’agir de la poudre enflammée. On fait que parmi les substances qui entrent dans la composition de la poudre, il en est que le feu convertit en un fluide élastique , doué d’iïné très-grandé forcé "expansive ; c’e'st dans cette propriété que consisté toute la force dé la poudre. Repré- sbntons-nous ce fluide renfermé dans une capacité opposant de toutes parts une résistance invincible à son expansion nous n’y verrons qifun amas d’une infinité de petits tourbillons agissant & réagissant mutuellement les uns contre les-autres., ayant la même tendance à s’étendre en tous sens, & également indifférens à suivre toutes les. directions imaginables.. Remarquons aussi que la pression de ce fluide contre les parois de la capacité qui le renferme, s’exerce perpendiculairement à la surface de chaque portion de ces parois propriété est commune avec tous les fluides contenus dans des vaisseaux ; de là vient l’équilibre, de là résulte encore que la pression du fluide contre une seule partie quelconque des parois du vase, est équivalente aux pressions qui s’exercent contre toutes les autres parties , & en est la résultante,. Cette connaissance nous est fur-tout essentielle , parce que nous o’avons à considérer que le premier effort du fluide de la poudre contre la bombe. Cela posé, voyons ce qui arrivera lorsqu’il y aura une ouverture à un endroit quelconque du vase qui renferme le fluide élastique produit par rinflammation de A F P I II D I C I. 25 I la poudre, quelle que soit d’ailleurs la forme intérieure de ce vase soit FVG j%. 36 ce vase, & FG l’ou- verture ; il est clair que le fluide s’échappera par cette ouverture , en suivant une direction perpendiculaire à la ligne droite ou à la surface plane qui joint les bords de l’orifice car quelle qu’ait été la figure F d G de l’endroit du vase où l’on a fait l’ouverture, la somme des pressions exercées par le fluide contre F9 • • • • .75 5 ••• - • • 1 , 0 .... Çes deux hypothèses donnent, comme on voit, des résultats bien dissérens, la force relative étant constamment plus grande dans la premiere que dans la seconde; mais elles ont cela de commun, que dans l’une & l’autre cette force diminue à mesure que la valeur de x augmente; c’est-à-dire, à mesure que la sphere présente un plus gfand segment à Faction du fluide élastique , de sorte qu’à cet égard seulement, & supposant que ce fluide est toujours animé de la même force expansrve, ce seroit un avantage réel de donner aux chambres des mortiers la plus petite ouverture possible mais d’autres considérations empêchent que, dans la pratique, on ne puisse profiter de cet avantage la principale est que la poudre ne s’en- flamme que successivement ; d’où il suit que la forme de la chambre doit être tellement combinée avec son ouverture , que celle-ci restant aussi petite qu’il est possible, A í f t V B I C L 1 56 celle-là procure en même temps Tinflammation la plus prompte & la plus complette car il est certain , daprès la théorie qu’011 vient d’exposer, que si la charge de poudre étoit entièrement enflammée, 6c le fluide élastique totalement développé , avant que la bombe fùt ébranlée , une moindre ouverture seroit préférable à une plus grande, & la figure de la chambre seroit indifférente. Nous ne connoiffons point assez la nature de la poudre quant à fa maniéré d’agir & au temps quelle met à s’en- flammer, pour pouvoir assujettir au calcul la combinaison dont on vient de parler. Un autre principe qui nous seroit nécessaire & qu’on ne connoît pas mieux , c’est la nature de la résistance des corps en vertu de leur force d’inertie on sitit bien que cette résistance est proportionnelle aux masses ; mais elle eut aine encore avec elle l’idée d’un temps employé par cette masse à résister à l’essort de la force motrice, fur- tout si cette force consiste dans la pression d’un ressort où d’un fluide élastique; & il est naturel de penser que ce temps augmente avec la masse du mobile. Appliquant ceci à une charge de poudre renfermée dans la chambre d’une arme à fett, on verra que l’inflammation y doit être d’autartt plus complette, que la masse du mobile exposé à fexpansion du fluide , est plus grande. Si On connoissoit donc le temps de l'inflammation & le temps de-la résistance du mobile, ou au moins leur rapport, on pourroit résoudre la queston qui nous occupe ; au défaut de ces lumières qui nous manquent, employons le seul moyen qui soit en notre pouvoir, celui de la comparaison de différentes chambres contenant la même quantité de poudre, en nous appuyant de deux principes suivans i°. le feu mis à Appendice. lìne óharge de poudre pal un point quelconque , que nous appellerons centre d'inflammation , se communique ds proche cn proche à toute la charge, en s’étendant sphé- riquement ; de maniéré que dans deux charges, les quantités de poudre allumées dans le même premier instant, seront des portions de sphères égales. 2°. Plus il y aura de poudre allumée au premier instant de l’inflammation, plus le feu gagnera promptement le reste de la charge. Cela posé pour comparer les effets de deux chambres, ayant la même capacité & des formes différentes, on imaginera deux sphères égales placées de maniéré que leurs centres soient aux mêmes points que les centres d’inflammation ; observant, pour le choix de leur rayon , que les portions de ces sphères renfermées dans les chambres n’excedent point le volume des charges. On examinera quelle est la chambre qui comprend entre ses parois, & dans le volume de la charge , la plus grande portion de sphere ; c’est dans celle-là qne s’enflammera, au même instant, la plus grande quantité de poudre, où, par conséquent l’inflammatioii de la charge sera la plus complette ; & st à cette condition la même chambre joint encore celle d’une moindre ouverture , on pourra conclure qu’il en résultera aussi la plus forte impulsion du fluide contre la bombe. On voir donc que la position de la lumière doit influes fur la promptitude de l’inflammation d’une charge de poudre ! il est clair en effet qu’étant placée vers le milieu de la longueur de la charge, il s’enflammera au même instant à peu près autant de poudre du côté du fond ds la chambre que du côté de l’ouvcrture ; c’est-à-dire, si k chambre est cylindrique, environ le double de ce qui s'en enflammeroit si la lumière aboutit à l’angle du fond. 33 2;8 Appindice. II n’est pas moins évident que si la lumière répond au milieu du fend de la chambre, il s’enflammera d’autant plus de poudre au premier instant, que ce fond est plus applati. Mais si, par la maniéré de placer la lumière,on obtient une inflammation plus ou moins prompte, d’un autre côté il a été observé, dit-on, que quand elle est trop éloignée du fond de la chambre, l’explosion de la poudre est si violente, que le mortier & son affût en sont considérablement tourmentés & fatigués , fans qu’il en résulte à la bombe un surcroît de force bien sensible. Les nouveaux mortiers coniques viennent à l’appui de cette observation dans celui de ir po. la chambre, dont la profondeur est de 7 po. 9 li., contient 11 liv. de poudre; la lumière répond à 3 po. du fond, & quoique les tourillons aient 8 po. de diamètre, on a été obligé, pour les empêcher de fléchir fous i'effort de cette charge, de les assurer par un renfort en forme de console de 4 ' po. de base & 8 po. de hauteur. Si ces mortiers , à cause de la forme conique du logement de la bombe, ont l’avantage de la justesse de direction , ils le cedent pour la portée aux mortiers ordinaires, à chambre poire ou cylindrique, dont le diamètre de l’ouverture est de 5 po. 6 li., tandis que dans le mortier conique elle est de 11 po. 5 li. 9 pts. ; ce qui met la force relative d’une charge de poudre dans celui-ci, & la force relative de la même charge dans l’autre , dans le rapport de 702 à 944. II est certain au reste qu’avec des petites charges, les portées du mortier conique font beaucoup moindres que celles du mortier ordinaire 2 liv. de poudre avec le premier n’ont donné qu’une portée de 298 toises, Sc avec l’autre de 46a ; avec 2 - liv. le premier a donné 400 toises, le second 569 ; de sorte que dans tous les Appendice. a? où l’usage des mortiers coniques ne te roi t point borné à leurs plus grandes portées, tant pour les sieges que pour la défense des côtes, il y auroit un avantage bien décidé à leur préférer les mortiers actuels, fur-tout si lame avoir la configuration dont nous avons parlé dans la note de fart. 53. Inobservation fur l’éloîgnement de la lumière du fond de la chambre , fourniroií un sujet de discussion bien intéressant sur les effets de la poudre & fa maniéré d’agir; mais on ne pourra s’en occuper d’une maniéré satisfaisante, que lorsqu’on aura un asspz grand nombre de faits bien vus & bien constatés. En attendant, nous allons terminer ces réflexions par une remarque , qui, en donnant une idée de la promptitude de l’inflammation de la poudre, fera voir qu’on doit en effet peu gagner à cet égard, en éloignant la lumière du fond de la chambre ; cette remarque est fondée fur les résultats des épreuves faites avec les pieces de pour connoître la force de différentes charges de poudre , rapportées dans la table VII, art. 172. Les charges éprouvées font de 12 onces; 1 liv., 1 j, 2 , L z, 3^,4, 3,6, S, 10 & 12 livres ; elles ont communiqué au boulet des vitesses de 300, 575, 700, 809, 906, 989, 1065, 1132, 1250, 1320, 1425, 1473 & 1530 pieds par seconde; fi les vitesses étoienc proportionnelles aux racines quarrées des charges, comme cela seroit si dans toutes los charges l’inflammation étoit complette avant le départ du boulet, ces vitesses ferotent de 500 , 377,707, 816 , 913 , 1000, xo8o, 1133,1291, 1414, 1633 , 1826 & 2000 pi. par seconde; comparant ces dernieres vitesses avec celles qui résultent des épreuves, on volt que la différence fe réduit d’abord à peu ds choses, & ou’elle ne commence à être sensible que pour % 6 o Appendice. les charges qui excedent 4 1 . La conséquence que nous voulons tirer de cette comparaison , est que, si la charge de 12 onces, qui produit une vitesse de 500 pieds, est entièrement enflammée avant le départ du boulet, comme il n’est guere possible d’en douter, il faut nécessairement que toutes les autres charges, jusqu’à celle de 4 1. inclusivement , soient dans le mcme cas ; puisque leur longueur n’excédant point leur diamètre , le feu doit se communiquer en même temps aux extrémités de l’un & de l’autre, & que d’ailleurs ces charges donnent toutes des résultats, à peu de chose près, conformes à ceux de la théorie. Or il est certain que la charge de 12 onces suffit pour chasser le boulet, quand même son poids scroit augmenté de toute la poudre qui est en avant de ces 12 onces; il faut donc que la communication de la flamme soit assez rapide pour qu’une charge de 2 , 3 & 4 1. de poudre s’allume presqu’aussi promptement que celle de 12 onces ; ce qui n’est au reste qu’une fuite na-r tutelle des deux principes établis plus haut. Si les charges plus fortes ne suivent pas la même loi, c’est qu’à raison d’une plus grande longueur, le temps de leur inflammation devient assez sensible pour que le boulet puisse être ébranlé & chassé par la premiere poudre enflammée ; mais cette différence doit presque disparoître dans la chambre d’un mortier , à cause de la plus grande pesanteur du mobile, qui, par cette raison, opposant une résistance plus grande & plus longue, donne lieu à une inflammation plus complette. Nous avons déjà eu occasion fle faire cettç observation dans la remarque V, art. 177, F I N, 4 ERRATA. Page 3 , ligne 22, au lieu de EG, lise^_ FG. Dans la 6g. 11, il 6ut supposer la lettre C à l’extré- Hiité de A Q, & la lettre B au point où la courbe rencontre AP , pag. 9, lig. 4, &c. &pag. 10, lig. 10, &c. Pag. 18, lig. 8 , au lieu de §. 4, Hsl §• 5 . Pag. ri , lig. 19, au lieu de Pag. 22, lig. 14, au lieu de §.4 Hfil §. 5 . Ibid. lig. 15 , au lieu de §. 14 lìfti §. 13 . Ibid. lig. 22, au lieu de §. 13, lise^ §. 12. Pag. 23 , lig. 16 , au lieu de §. 4 , Hse\ §- 5 . %• 3 - a u lieu de §. 33, lise ç §. 34 . Ibid . lig. 4 , au lieu de §. 33 , lifa §. 34. Pag- 32 , lig- 26 , au lieu de §. 38 , lise^ §. 39. Pag. 33, lig. 11, au lieu de le moblie, lisez le mobile . Pag- 36, lig- 2, au lieu de §. 38 , lifii §. 39. Dans la 6g. 16, planche II, il faut supposer la lig. Hi parallèle à AB & rencontrant GA en i, comme il est dit pag. 48, lig. 12. Pag. 48, lig. 29, au lieu de],; §. 4 , lìfe{ §. 3 . Pag. 53 , lig. 3 , au lieu de deux secondes , lisez une $ seconde. ' Ibid. lig. 6 , au lieu de premiere table, lisez seconde table. Pag- 55 - l'g- 4, au lieu de §. 4 » Hfil §• 5 • Pag- 57, lig- 20, au lieu de §. 71 , lis * §. 72. J Pag, 59, tabíe V, colonne 7, líg. 23, au lieu de 2 — S, lifii 2 — 8. Pag. 66, lig. 22 , au lieu de §. 27 , lisie^ §. 28. Ibid. dern, lig. au lieu de §. 4 , lisieç §. 5 . Pag. 67, lig. pénultième , au lieu de sig. 24, lisie^ {fie- 2 5 Pag- 75- H- r, an lieu de §. 3 3, lìsci %. 34. Pa & 79 , l'g- 5 - au lieu de §. 33 , Ifa §. 34. Pag- 99, lig. 6, au lieu de §.113, lifei §. 1,19. X Pag. 110, lig. 12 , au lieu de mr e ~ , lisez m = c. lbd. lig. 13, a 11 lieu de e lisez e c ’ Pag. 112, lig. 17, au lieu de §. 70, lifti §. 71. Pag. 117, lig. 14, au lieu de §. 145, l[sei{%. 147. Pag. 118, lig. 19 , au lieu de §. 81 , lìsie^ §. 82, Pag. 120, lig. 22, au lieu de f ensile , lisez sensible. Pag. 126 , lig. 12 & 13, au lieu de 2 n c V 3 * , c*V* _ í' + ur S S 2 c V 3 » 5 c- V 3 * 3 nc ' V \\ Ç„ g n S n 5 ’ ï n c V a 2 c 2 V 4 -4-2 3 H- c 2 ** — -H— - ZZ 0 S g g îtVi’ c 3 V 3 . v 3 n c- V S n g n es * Pag. 127, lig. 2, au lien de prp y f + Jj , là _ tsií _ ^î + P>* Pag. 129, lig. 29, au lieu de Z. 130, lisiei §. 127. Pag. 131,lig. 6, au lieu de 100 130, lìsie^ 150 130. Pag. 168, lig. 3, au lieu de qui cette vîtejjb, lisez que c t ne vìtejse. Pag. 180, lig. au lieu de hausse, lisez la hausse. Pag. 185 , lig. 20, au lieu de bataillons de royal artillerie, lisez bataillons de l'artillerie. Pag. 189, lig. 13, au lieu de §.148, lise ç §. 150. Pag. 200, lig. 5 , au lieu de qui Ji à cette distance , lisez que fi à celte distance. Pag. 203, lig. 17, au lieu de §. 128, lise^ §* 130. Pag. 204 , lig. 20, au lieu d edt — , lisez dt — n vi 2“ dc CrfeTTi • lise “ — d x d d y* Pag. 210, lig. 6, au lieu de ne sont point intégrales, lisez ne font point intégrables. Pag. 224, tab. XIV , en tête de la quatrième colonne, lieu de 2,302383 l/* , lisez 2,302583 j/ au Pag. 217 , lig. antépénultième , au lieu de quatre demU terme , lisez quatre derniers termes. Pag. 251, ligne pénultième, au lieu de entièrement ferme, lisez entièrement fermé. Fi o. 5 . Firt! Z. 'G Pi II. Fio. j S. Fio. 2/. * y f

Vous souffrez d’un mal de tête qui vous mène la vie dure ? En plus d’être douloureux, cela agit sur votre moral ? Comment faire pour réduire ces douleurs naturellement et reprendre le cours de votre journée avec sérénité ? Dites stop aux maux de tête et accordez-vous un moment de bien-être avec notre sélection d'huiles utiliser les huiles essentielles contre les maux de tête ?Les huiles essentielles sont des remèdes redoutables contre le mal de tête. Puissants antidouleurs, elles agissent sur les vaisseaux sanguins pour les dilater et réduire les tensions situées au niveau de la de tête ou une migraine ? On distingue les maux de tête banals », des migraines, souvent localisées sur une moitié du crâne. Les migraines durent plus longtemps, entre 4 à 72h, et sont accompagnées de nausées, vomissements ou d’une sensibilité accrue au bruit ou à la lumière. Si vous êtes dans ce cas, reportez-vous à notre article sur les huiles essentielles contre la huiles essentielles contre le mal de têteLa menthe poivrée, la référence contre les maux de têtePlante herbacée à l’odeur fraîche, la menthe poivrée est largement utilisée pour ses multiples propriétés culinaires, cosmétiques, pharmaceutiques… Son huile essentielle est un puissant antidouleur grâce au menthol qu’elle contient. Analgésique et anesthésiante, l’huile essentielle de menthe poivrée calme les maux de tête par effet froid ».Utilisation Pour bien l'utiliser, verser 2 gouttes d’huile essentielle de menthe poivrée dans ½ cuillère à café d’huile végétale comme l'huile d'amande douce. Masser les tempes attention aux yeux !, le front et la base de la nuque, 2 fois par jour maximum, jusqu’à amélioration. Attention, ne pas appliquer l’huile essentielle de menthe poivrée trop près des yeux, sous risque de les sensibiliser et de les faire pleurer. Privilégier la nuque si Effectuer un test cutané avant application - Ne pas appliquer pure sur la peau – Ne convient pas aux femmes enceintes ou allaitantes, aux enfants de moins de 6 ans, aux personnes épileptiques ou présentant des troubles neurologiques, aux sujets présentant des troubles hormono-dépendants cancéreux ou non, aux personnes déficientes en enzyme G6PD, aux sujets souffrants de lithiase biliaire, d'inflammation de la vésicule biliaire, de troubles hépatiques graves, d'hypertension et lors de problèmes cardiovasculaires camomille romaine, excellent antidouleurAussi appelée camomille noble, l’huile essentielle de camomille romaine a une action antalgique et atténue les douleurs liées au mal de tête. C’est l’huile essentielle du calme et de la détente grâce à son action sur le système nerveux central. A ses côtés, les maux de tête se vivent avec plus de sérénité !Utilisation Verser 2 gouttes d’huile essentielle de camomille romaine dans ½ cuillère à café d’huile végétale. Masser la zone douloureuse, 3 fois par jour maximum, jusqu’à Effectuer un test cutané avant application - Ne convient pas aux femmes enceintes de moins de 3 mois, aux enfants de moins de 3 mois et aux personnes lavande fine, vasodilatatrice et hypotensivOutre ses vertus antalgiques et anesthésiantes grâce au linalol qu’elle contient, la lavande fine dilate les vaisseaux et réduit la tension afin de calmer les maux de tête. Tout comme la camomille romaine, elle apaise les nerfs et détend les muscles pour que les maux de tête ne jouent pas sur votre moral !Utilisation Verser 2 gouttes d’huile essentielle de lavande fine dans ½ cuillère à café d’huile végétale. Masser la zone douloureuse, 3 fois par jour maximum, jusqu’à Effectuer un test cutané avant application - Ne convient pas aux femmes enceintes de moins de 3 mois, aux enfants de moins de 3 mois et aux personnes asthmatiques ou présentant des troubles cardiovasculaires recettes contre les maux de têteSynergie anti maux de têteFabriquez votre synergie anti maux de tête à glisser dans votre sac à de lavandin super 1 mlHE de camomille mlHE de basilic 1 mlHE de menthe poivrée 1 mlHE de gaulthérie 1 mlHE de girofle mlDans un flacon compte-goutte de 5 ml, verser les huiles 2 à 3 gouttes sur les temps et le front loin des yeux. Répéter si besoin toutes les ½ SOS en cas de maux de têtes dus à la tensionLes maux de tête sont souvent dus à des tensions musculaires. Pour y faire face, fabriquez votre roll-on SOS HE delavande officinale 90 gouttesHE de camomille romaine 60 gouttesHE de citron 60 gouttesHE de menthe poivrée 60 gouttesHE de gaulthérie odorante 30 gouttesDans un roll-on de 10ml, verser les huiles sur les tempes, loin des yeux et sur la face interne des pendant 10 minutes de soin en cas de céphalées liées au cycle menstruelSi vos maux de têtes sont liés à votre cycle et que les symptômes apparaissent 2 jours avant les règles ou 3 jours après, cette recette est faite pour vous !HE de sauge sclarée 90 gouttesHE de cyprès toujours vert 90 gouttesHE delavande officinale 60 gouttesHE de camomille romaine 60 gouttesHuile végétale de calophylle inophylle 50 mlDans un ramequin préalablement désinfecté, verser les huiles essentielles. Puis ajouter l’huile le bas du ventre 2 à 6 fois par jour avec quelques gouttes de ce Des lecteurs ont trouvé cet article utile Et vous ?Cet article vous-a-t-il été utile ?À lire aussi

Mon matériel Pour la réception satellite sur ASTRA Comment bien choisir la parabole et le terminal satellite Recevoir la télévision par le satellite ASTRA, c'est à la portée de tous. Vous avez besoin de Une parabole de 60 cm orientée sur ASTRA Un terminal/décodeur satellite Bien choisir ma parabole Pour recevoir les programmes diffusés via ASTRA, vous allez vous équiper d’une parabole ou antenne satellite. Elle peut être en Acier Aluminium Résine synthétique Pour faire le bon choix, pensez à prendre en compte Sa résistance au vent Son étanchéité La sensibilité de sa tête de réception LNB Ses modes de fixation dépendent de l’endroit où vous souhaitez l’installer Son prix La parabole sait se faire discrète Jardin, terrasse, toit ou sur un mur, l'antenne satellite s'installe discrètement dans tout type d'habitat. Il existe des paraboles en couleur dès l'achat re-peintes, sur certains modèles, à l'aide de peintures spéciales Choisir la bonne "tête" en fonction du nombre de téléviseurs à connecter Le LNB est le composant que l’on place au bout du bras de la parabole qui permet de convertir les signaux satellite. Il existe plusieurs types de LNB pour répondre à plusieurs usages Sortie simple pour alimenter un seul décodeur/téléviseur Sorties indépendantes Twin ou double pour alimenter deux décodeurs/téléviseurs, dans deux pièces différentes Sorties indépendantes Quad ou quatro pour recevoir sur quatre décodeurs/téléviseurs, dans quatre pièces différentes Trouver mon terminal satellite ou décodeur Le terminal satellite est aussi appelé décodeur ou récepteur satellite. Il permet de transformer les signaux satellite pour les rendre compatibles avec votre téléviseur. Vous devez brancher votre décodeur à votre téléviseur et au fil antenne de votre parabole. Le terminal sera différent si vous souhaitez 1. Recevoir les chaînes gratuites de la TNT avec TNT SAT Il existe plus d’une centaine de décodeurs TNTSAT. Tous sont en haute définition HD. Les décodeurs satellite TNTSAT HD sont vendus dans l’ensemble de la distribution Magasins télé hifi vidéo Antennistes Magasins spécialisés de bricolage et d’électronique Grandes surfaces 2. Vous abonnez aux offres de télévision payantes sur Astra Dans les deux cas, c'est très simple. Le décodeur est fourni par l’opérateur CANAL ou Orange. Les Offres CANAL La TV d’Orange 3. Recevoir uniquement nos chaînes et radios en clair Toutes les chaînes et radios en clair sur ASTRA sont reçues sur l’ensemble des décodeurs évoqués précédemment. Si vous souhaitez uniquement recevoir l’offre en accès libre, il vous suffit d’acheter simplement un terminal satellite simple appelé "Free to air". Exemples d'installation d'antenne satellite discrète Mo

Avecl’aimable autorisation de L.L: (même si c’est un peu long) Jour 182 de l’invasion russe de l’Ukraine en 3 jours: Au fur et à mesure des infos, on peut décrire plus précisément l’attentat contre Doughina, la fille de Doughine : – Elle était avec son père à une réunion d’ultra-nationalistes. La voiture était garée

Je n'ai pas le temps de commenter toutes les erreurs que la Société Watchtower fait dans ses publications, mais de temps en temps quelque chose attire mon attention et je ne peux, en toute bonne conscience, l'ignorer. Les gens sont piégés dans cette organisation en croyant que c'est Dieu qui la dirige. Donc, s'il y a quelque chose qui montre que ce n'est pas le cas, je pense que nous devons en parler. L'organisation utilise souvent Proverbes 418 pour se désigner comme un moyen d'expliquer les diverses erreurs, fausses prédictions et interprétations erronées qu'elle a faites. Ça lit "Mais le chemin des justes est comme la lumière brillante du matin Qui devient de plus en plus brillante jusqu'au plein jour." Proverbes 418 TNO Eh bien, ils marchent sur ce chemin depuis près de 150 ans, donc la lumière devrait être aveuglante maintenant. Pourtant, lorsque nous en aurons terminé avec cette vidéo, je pense que vous allez voir que ce n'est pas le verset 18 qui s'applique, mais plutôt le verset suivant Le chemin des méchants est comme les ténèbres ; Ils ne savent pas ce qui les fait trébucher. Proverbes 419 TNO Oui, à la fin de cette vidéo, vous verrez des preuves que l'organisation a perdu la maîtrise de l'un des aspects fondamentaux du christianisme. Commençons par examiner l'article 38 de l'étude Watchtower intitulé Approchez-vous de votre famille spirituelle » de l'édition d'étude de septembre 2021 de La Tour de Garde, qui a été étudiée dans la congrégation au cours de la semaine du 22 au 28 novembre 2021. Commençons par le titre. Lorsque la Bible parle d'une famille chrétienne, ce n'est pas métaphorique, mais littéral. Les chrétiens sont littéralement des enfants de Dieu et Jéhovah est littéralement leur Père. Il leur donne la vie, et pas seulement la vie, mais la vie éternelle. Ainsi, les chrétiens peuvent à juste titre se référer les uns aux autres comme frères et sœurs, car ils partagent tous le même Père, et c'est le point de cet article, et dans l'ensemble, je dois être d'accord avec certains des points bibliques valides que l'article fait du. L'article indique également au paragraphe 5 que, "comme un frère aîné, Jésus nous enseigne comment respecter et obéir à notre Père, comment éviter de lui déplaire et comment gagner son approbation". S'il s'agissait du tout premier article de la Watchtower que vous lisiez, vous en tireriez la conclusion que les Témoins de Jéhovah, la base, c'est-à-dire, considèrent Jéhovah Dieu comme leur Père. Avoir Dieu comme Père fait d'eux tous des frères et sœurs, faisant partie d'une grande et heureuse famille. Ils considèrent également Jésus-Christ comme un frère aîné. La plupart des Témoins seraient d'accord avec cette évaluation de leur statut auprès de Dieu. Pourtant, ce n'est pas ce que l'Organisation leur a enseigné. On leur enseigne qu'au lieu d'être des enfants de Dieu, ils sont au mieux des amis de Dieu. Par conséquent, ils ne peuvent légitimement l'appeler Père. Si vous demandez à votre témoin de Jéhovah moyen, il dira qu'il est un enfant de Dieu, mais en même temps sera d'accord avec l'enseignement de la Watchtower que les autres brebis - un groupe représentant près de de tous les témoins de Jéhovah - ne sont que de Dieu. amis, les amis de Jéhovah. Comment peuvent-ils garder en tête deux idées aussi contradictoires ? Je n'invente pas ça. Voici ce que le livre Insight a à dire sur les autres moutons it-1 p. 606 Déclarer Juste Dans l'une des illustrations ou paraboles de Jésus, concernant le temps de sa venue dans la gloire du Royaume, les personnes comparées à des brebis sont désignées comme justes ». Mt 2531-46 Il est à noter, cependant, que dans cette illustration, ces justes » sont présentés comme séparés et distincts de ceux que le Christ appelle mes frères ». Mt 2534, 37, 40, 46 ; comparer Hé 210, 11. Parce que ces semblables à des brebis prêtent assistance aux frères » spirituels du Christ, démontrant ainsi la foi en Christ lui-même, ils sont bénis par Dieu et sont appelés justes. " Comme Abraham, ils sont comptés ou déclarés justes comme amis de Dieu. Jacques 223 Donc, ils sont tous amis de Dieu. Juste un grand groupe d'amis heureux. Cela signifie que Dieu ne peut pas être leur Père et Jésus ne peut pas être leur frère. Vous n'êtes tous que des amis Certains riront, mais ne peuvent-ils pas être à la fois enfants de Dieu et amis de Dieu ? Pas selon la doctrine de la Watchtower. … Jéhovah a déclaré son les oints justes comme des fils et les autres brebis justes comme des amis… » w12 7 / 15 p. 28 par. 7 Pour expliquer, si vous êtes un enfant de Dieu—que Dieu vous considère aussi comme son ami ou non, cela n'a pas d'importance—si vous êtes un enfant de Dieu, vous obtenez l'héritage qui vous est dû. Le fait que, selon la doctrine de la Watchtower, Jéhovah ne déclare pas les autres brebis justes comme ses enfants signifie qu'ils ne sont pas ses enfants. Seuls les enfants reçoivent l'héritage. Vous vous souvenez de la parabole du fils prodigue ? Il a demandé à son Père de lui donner son héritage qu'il a ensuite pris et dilapidé. S'il n'avait été que l'ami de cet homme, il n'y aurait pas eu d'héritage à demander. Vous voyez, si les autres brebis étaient à la fois des amis et des enfants, alors le Père les déclarerait justes comme ses enfants. En passant, il n'y a aucun endroit dans les Écritures où nous trouvons Dieu déclarant les chrétiens justes comme ses amis. Le Collège central vient d'inventer cela, a créé un enseignement à partir de rien, un peu comme ils l'ont fait avec la génération qui se chevauche. Il y a une écriture dans Jacques 223 où nous voyons Abraham être déclaré juste en tant qu'ami de Dieu, mais c'était avant que Jésus-Christ ne donne sa vie pour nous ramener dans la famille de Dieu. C'est pourquoi vous n'avez jamais entendu parler d'Abraham appelant Jéhovah Abba Père ». Jésus est venu et a ouvert la voie pour que nous devenions des enfants adoptés. Cependant, à tous ceux qui l'ont reçu, il a donné le pouvoir de devenir enfants de Dieu, parce qu'ils exerçaient la foi en son nom. 13 Et ils sont nés, non du sang ou d'une volonté charnelle ou de la volonté de l'homme, mais de Dieu. Jean 112, 13 Remarquez qu'il est dit à tous ceux qui l'ont reçu, il a donné le pouvoir de devenir enfants de Dieu ». Cela ne dit pas aux premiers 144,000 144,000 qui l'ont reçu, n'est-ce pas ? Ce n'est pas une vente du premier arrivé, premier servi. Les XNUMX XNUMX premiers acheteurs recevront un coupon pour une vie éternelle gratuite. Maintenant, pourquoi l'organisation enseignerait-elle quelque chose qui contredit sa propre doctrine ? Il y a tout juste un an, un autre article de la Watchtower Study contredisait toute l'idée de famille. Dans le numéro d'avril 2020, Study Article 17, nous avons droit à ce titre Je vous ai appelé amis ». C'est Jésus qui parle à ses disciples. Ce n'est pas Jéhovah qui nous parle. Ensuite, nous obtenons cet encadré intitulé L'amitié avec Jésus conduit à l'amitié avec Jéhovah ». Vraiment? Où la Bible dit-elle cela ? Ce n'est pas le cas. Ils l'ont inventé. Si vous comparez les deux articles, vous remarquerez que l'actuel de septembre de cette année est plein de références bibliques pour étayer l'enseignement selon lequel les chrétiens sont les enfants de Dieu et qu'il le devrait, parce qu'ils le sont. Cependant, l'avril 2020 fait beaucoup d'hypothèses, mais ne fournit aucune Écriture pour soutenir l'idée que les chrétiens sont les amis de Dieu. Au début de cette vidéo, je vous ai dit que nous verrions des preuves que l'organisation a perdu sa prise sur l'un des aspects fondamentaux du christianisme. On va voir ça maintenant. Dans l’article d’avril 2020 sur l’amitié avec Dieu, ils font en fait cette déclaration étonnante “ Nous ne devons attacher ni trop ni trop peu d’importance à notre amour pour Jésus. — Jean 1627. De manière typique, ils ont attaché une référence biblique à cette déclaration en espérant que le lecteur supposera qu'elle fournit un support scripturaire pour ce qu'ils prétendent et de manière typique, ce n'est pas le cas. Même pas près. "Car le Père lui-même a de l'affection pour vous, parce que vous avez eu de l'affection pour moi et avez cru que je suis venu comme représentant de Dieu." Jean 1627 Rien n'avertissait le chrétien d'avoir trop d'amour pour Jésus. Pourquoi est-ce que je dis que c'est une déclaration étonnante? Parce que je suis stupéfait de voir à quel point ils sont loin de la vérité. Parce que je ne peux pas croire qu'ils aient tellement perdu le contact avec le fondement de base du christianisme, qui est l'amour, au point de penser qu'il devrait être réglementé, limité, restreint de quelque manière que ce soit. La Bible nous dit tout le contraire D'autre part, le fruit de l'esprit est l'amour, la joie, la paix, la patience, la bonté, la bonté, la foi, la douceur, la maîtrise de soi. Contre de telles choses, il n'y a pas de loi. Galates 522, 23 Qu'est-ce que cela signifie de dire que contre de telles choses il n'y a pas de loi ? Cela signifie qu'il n'y a pas de restrictions, pas de limites, pas de règles régissant ces choses. Puisque l'amour est le premier mentionné, cela signifie que nous ne pouvons pas lui mettre de limite. Cet amour est l'amour chrétien, l'amour agape. Il y a quatre mots pour l'amour en grec. Un pour l'amour qui est défini par la passion. Un autre pour l'amour instinctif que l'on porte à la famille. Encore un autre pour l'amour de l'amitié. Ceux-là ont tous une limite. Trop de tout cela pourrait être une mauvaise chose. Mais pour l'amour que nous avons pour Jésus, l'amour agape, il n'y a pas de limite. Dire le contraire, comme le fait l'article de la Tour de Garde d'avril 2020, est contredire la loi de Dieu. Aller au-delà de ce qui est écrit. Imposer une règle là où Dieu dit qu'il n'y en a pas. La marque d'identification du vrai christianisme est l'amour. Jésus lui-même nous dit qu'en Jean 1334, 35, une écriture que nous connaissons tous bien. Cette déclaration d'une Watchtower examinée par tous les membres du Collège central—parce qu'ils nous disent qu'ils examinent tous les articles de l'étude—indique qu'ils ont perdu le sens de ce qu'est l'amour chrétien. Vraiment, ils marchent dans les ténèbres et trébuchent sur des choses qu'ils ne peuvent pas voir. Juste pour montrer le niveau lamentable de compréhension de la Bible présent chez ceux qui prétendent être le canal de Dieu, jetez un œil à cette illustration du paragraphe 6 de l'article 38 de la Tour de Garde de septembre 2021. Voyez-vous le problème? L'ange a des ailes ! Quoi? Leurs recherches bibliques s'étendent-elles à la mythologie ? Étudient-ils l'art de la Renaissance pour leurs illustrations ? Les anges n'ont pas d'ailes. Pas littéralement. Les chérubins sur le couvercle de l'Arche d'Alliance avaient des ailes, mais c'était une sculpture. Il y a des créatures vivantes qui apparaissent dans certaines visions avec des ailes, mais celles-ci utilisent des images hautement symboliques pour transmettre des idées. Ils ne sont pas destinés à être pris au pied de la lettre. Si vous effectuez une recherche sur le mot ange dans la Bible et parcourez toutes les références, vous n'en trouverez pas une où un ange portant une paire d'ailes a physiquement rendu visite à un humain. Lorsque des anges sont apparus à Abraham et à Lot, ils ont été appelés hommes ». Il n'y avait aucune mention d'ailes. Lorsque Daniel a reçu la visite de Gabriel et d'autres, il les décrit comme des hommes. Quand on a dit à Marie qu'elle concevrait un fils, elle a vu un homme. Dans aucune des visites angéliques que les hommes et les femmes fidèles ont reçues, on ne nous dit que les messagers étaient ailés. Pourquoi le seraient-ils ? Comme Jésus qui est apparu dans une pièce fermée à clé, ces messagers peuvent se glisser dans et hors de notre réalité. Cette illustration d'ange ailé est si idiote que c'est embarrassant. Il déforme la Bible et fournit plus d'eau au moulin de ceux qui ne cherchent qu'à discréditer la parole de Dieu. Que devons-nous penser? Que l'ange est descendu du ciel en piqué pour atterrir près de notre Seigneur ? On aurait pu penser que le battement de ces énormes ailes aurait réveillé les disciples qui dormaient à proximité. Vous savez qu'ils se disent fidèles et discrets. Un autre mot pour discret est sage. La sagesse est l'application pratique de la connaissance, mais si vous n'avez pas une vraie connaissance de la Bible, il est difficile d'être sage. Vous avez entendu dire qu'une image vaut mille mots. Si vous voulez comprendre le niveau abyssal des bourses au siège de JW, je vous donne ceci. Maintenant, que pouvons-nous retenir de tout cela? Jésus a dit Un étudiant n'est pas au-dessus de l'enseignant, mais tous ceux qui sont parfaitement formés seront comme leur enseignant. » Luc 640 NIV. En d'autres termes, un élève n'est pas meilleur que son professeur. Si vous lisez la Bible, alors votre professeur est Dieu et votre Seigneur Jésus, et vous vous élèverez pour toujours dans la connaissance. Cependant, si votre professeur est la Watchtower et les autres publications de l'organisation. Hmm, cela me rappelle quelque chose que Jésus a dit Car à celui qui a, il lui sera donné davantage, et il sera fait abonder ; mais à celui qui n'a pas, même ce qu'il a lui sera enlevé. Matthieu 1312 Merci d'avoir regardé et de soutenir cette chaîne. Vous pourriez aussi aimer

^{Mathématiquesdm. Posté par facedenouille 03-01-15 à 16:09. Bonjour tout le monde, J'ai un devoir de mathématiques vraiment compliqué. Je vous met le sujet ci-dessous. Je ne vous demande bien sur pas de le faire entièrement je ne conte pas faire de copier coller. Seulement il y a certaines questions qui me bloque.} Comment doit-on régler sa parabole pour pouvoir enfin regarder son programme préféré ? Choisir une bonne taille d’antenne, régler sa parabole, voici quelques étapes pour capter au mieux les chaînes TV via le satellite. Adel est fan de football et il ne rate pas un seul match. Il a bien installé sa parabole, mais n’arrive toujours pas à recevoir ses chaînes préférées. Comment Adel doit-il régler sa parabole pour pouvoir enfin regarder son programme préféré ? Adel doit avoir une taille d’antenne adaptée à la réception du satellite qu’il vise. Une antenne entre 70 et 90 cm peut suffire. Il doit se renseigner sur le site internet d’Eutelsat ou auprès d’un installateur agréé. Ensuite, Adel doit régler sa parabole en trois étapes. Tout d’abord, il doit vérifier que l’emplacement offre un ciel dégagé sans obstacles entre la parabole et le satellite. Adel ne connait pas l’orientation du satellite. Il télécharge l’application Eutelsat Satellite Finder » sur son smartphone. Puis il cherche son satellite directement dans le ciel pour avoir une première orientation ! Pour pointer la parabole avec précision, Adel met son décodeur sur la fréquence de référence du satellite. Ensuite, il doit régler sa parabole en fonction des coordonnées du satellite élévation azimut et polarisation. Pour finaliser le réglage, Adel entre la fréquence et le Symbol Rate » de sa chaîne. Lorsque la chaîne est parfaitement captée et le signal est au plus fort, le satellite est bien pointé. Adel doit aussi régler le décodeur pour avoir l’ensemble des chaînes disponible sur le satellite. Il lance un scan des fréquences, en suivant les étapes de son menu avec sa télécommande. En cas d’échec, il peut entrer directement la fréquence d’un transpondeur, généralement livrée avec le décodeur. Ça y est ! Adel a réussi à régler et pointer sa parabole pour recevoir sa chaine préférée et l’ensemble des chaines sur le satellite… Il va enfin pouvoir suivre tous les matchs de son équipe préférée ! .